заработать в соцсетях

 

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

7. Преобразование рациональных выражений

Рациональное выражение представляет собой частное от деления суммы рациональных дробей на многочлен. Деление на х2 - Зу2 можно заменить умножением на дробь . Поэтому преобразование данного выражения сводится к сложению дробей и умножению результата на дробь . Вообще преобразование любого рационального выражения можно свести к сложению, вычитанию, умножению или делению рациональных дробей.

Из правил действий с дробями следует, что сумму, разность, произведение и частное рациональных дробей всегда можно представить в виде рациональной дроби. Значит, и всякое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби.

Пример 1. Преобразуем в рациональную дробь выражение

Решение: Сначала выполним умножение дробей, затем полученный результат вычтем из многочлена х + 1:

Запись можно вести иначе:

Пример 2. Представим выражение

в виде рациональной дроби.

Решение: Сначала сложим дроби, заключённые в скобки, затем найденныи результат умножим на дробь , наконец, к полученному произведению прибавим 1:

Пример 3. Представим выражение в виде рациональной дроби.

Решение: Преобразование можно вести по-разному. Можно представить в виде рациональных дробей отдельно числитель и знаменатель, а затем разделить первый результат на второй. А можно умножить числитель и знаменатель на ху, воспользовавшись основным свойством дроби:

Пример 4. Пешеход отправился из посёлка А на станцию В со скоростью v1 км/ч. Придя на станцию, он обнаружил, что оставил дома необходимые документы, и возвратился обратно в посёлок со скоростью v2 км/ч. Взяв документы, он снова пошёл на станцию со скоростью v3 км/ч. Выясните, какой была средняя скорость пешехода на всём пройденном им пути.

Решение: Пусть расстояние АВ равно s км. Тогда на путь от А до Б пешеход затратил сначала ч, на путь от В до А ч, а на повторное прохождение пути от А до В ч. На весь путь пешеход затратил + + ч. За это время он прошёл 3s км. Теперь можно найти среднюю скорость vcp пешехода на всём пути:

Сократив данную дробь на s, найдём, что

Мы получили формулу для вычисления средней скорости, если известны скорости v1, v2, v3 на каждом из трёх участков одинаковой длины. Из полученного равенства видно, что средняя скорость движения пешехода не равна среднему арифметическому скоростей v1, v2 и v3. Она вычисляется по более сложной формуле, которую называют формулой среднего гармонического трёх чисел.

Средняя скорость движения на двух участках пути одинаковой длины вычисляется по формуле среднего гармонического двух чисел:

где v1 и v2 — скорости на этих участках.

Средняя скорость движения на четырёх участках пути одинаковой длины вычисляется по формуле среднего гармонического четырёх чисел:

где v1, v2, v3, v4 — скорости на этих участках.

Вообще если мы имеем некоторый ряд положительных чисел а1, а2, ..., аn, то среднее гармоническое этого ряда вычисляется по формуле

Эту формулу иногда записывают в другом виде:

Из этой записи видно, что величина, обратная среднему гармоническому нескольких положительных чисел, равна среднему арифметическому чисел, им обратных.

Упражнения

  1. Выполните действия:

  2. Выполните действия:

  3. Упростите выражение:

  4. Выполните действия:

  5. Выполните действия:

  6. Упростите выражение:

  7. Выполните действия:

  8. Упростите выражение:

  9. Представьте в виде дроби:

  10. При каком значении а выражение

    принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

  11. При каком значении b выражение , принимает наибольшее значение? Найдите это значение.
  12. Докажите тождество:

  13. Докажите тождество:

  14. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:

  15. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения

    является натуральным числом.

  16. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби:

  17. Упростите выражение:

  18. Представьте в виде отношения многочленов дробь:

  19. Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

  20. Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

  21. Найдите значение выражения:

  22. (Для работы в парах.) При каких значениях х имеет смысл выражение:

    1) Обсудите, о каких значениях переменной х в заданиях а) и б) можно сказать сразу, что они не являются допустимыми. Что надо сделать, чтобы найти другие значения х, которые не являются допустимыми?
    2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
    3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования. Исправьте замеченные ошибки.

  23. Найдите среднее гармоническое чисел:

    а) 3, 5;
    б) 2, 4, 8;
    в) 5, 10, 15, 20.

  24. Из пункта А в пункт В автобус ехал со скоростью 90 км/ч. На обратном пути из-за непогоды он снизил скорость до 60 км/ч. Какова средняя скорость автобуса на всём пути следования?
  25. Мастер может выполнить заказ на изготовление деталей за 4 ч, а его ученик — за 6 ч. За какое время они смогут выполнить два заказа, работая совместно?

  26. Готовясь к соревнованиям, школьник трижды прошёл на лыжах одну и ту же дистанцию: сначала со скоростью 9 км/ч, затем со скоростью 12 км/ч и, наконец, со скоростью 10 км/ч. Какова была средняя скорость школьника на всём пути?
  27. Найдите координаты точек пересечения с осью х и осью у графика функции:

    а) у = х - 2;
    б) у = - 0,4х + 2. Постройте график этой функции.

  28. Напишите уравнение прямой:

    а) проходящей через точку (0; 4) и параллельной прямой у = Зх;
    б) проходящей через начало координат и параллельной прямой у = - х - 8.

  29. Изобразите схематически график функции, заданной формулой вида у = kx + b, если:

    а) k > 0, b > 0;
    б) k < 0, b > 0;
    в) k < 0, b < 0;
    г) k = 0, b > 0.

  30. Одна сторона прямоугольника на 20 см больше другой. Если меньшую сторону увеличить вдвое, а большую — втрое, то периметр нового прямоугольника окажется равным 240 см. Найдите стороны данного прямоугольника.
  31. Скорый и пассажирский поезда идут навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми 710 км. Скорый поезд вышел на час раньше пассажирского и идёт со скоростью 110 км/ч. Через сколько часов после своего отправления он встретится с пассажирским поездом, если скорость пассажирского поезда равна 90 км/ч?

Рейтинг@Mail.ru