заработать в соцсетях

 

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

40. Сбор и группировка статистических данных

При изучении различных общественных и социально-экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся специальные статистические исследования. Заметим, что проведение любого массового исследования требует больших организационных усилий и финансовых затрат. Например, перепись населения страны связана с подготовкой разнообразной документации, выделением и инструктажем переписчиков, сбором информации, обработкой собранных сведений.

В тех случаях, когда бывает сложно или даже невозможно провести сплошное исследование, его заменяют выборочным. При выборочном исследовании из всей изучаемой совокупности данных, называемой генеральной совокупностью, выбирается некоторая её часть, т. е. составляется выборочная совокупность (выборка), которая подвергается исследованию. При этом выборка должна быть представительной, или, как говорят, репрезентативной, т. е. достаточной по объёму и отражающей характерные особенности исследуемой генеральной совокупности.

Пусть, например, работники телевидения решили выяснить, какие коррективы следует внести в составляемую программу передач. Для этого надо опросить более полутора тысяч человек, причём в выборку должны быть включены мужчины и женщины, люди разного возраста, в том числе дети и пенсионеры, зрители с различным социальным положением и образованием.

Для обобщения и систематизации данных, полученных в ходе статистического наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на группы и результаты, характеризующие каждую группу, сводят в таблицы.

Рассмотрим такой пример. Восьмиклассникам была предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 7 заданий. Работу выполняли 25 учащихся. При проверке учитель отмечал число верно выполненных заданий. В результате была составлена таблица, в которой для каждого числа верно выполненных заданий, записанного в верхней строке, в нижней строке указывалось соответствующее число учащихся, выполнивших столько заданий, т. е. указывалась частота появления этого числа в общем ряду полученных данных:

Такую таблицу называют таблицей частот.

В рассмотренном примере сумма частот равна 25, т. е. общему числу проверяемых работ. Вообще, если результат исследования представлен в виде таблицы частот, то сумма частот равна общему числу данных в ряду.

При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели. Простейшими из них являются такие известные вам статистические характеристики, как среднее арифметическое, размах, мода, медиана.

Чтобы найти среднее арифметическое, надо общее число верно выполненных заданий разделить на число учащихся, т. е. на 25. Получаем

Значит, в среднем учащиеся верно выполнили по 4,8 задания, т. е. примерно по 5 заданий.

Наибольшее число верно выполненных заданий равно 7, а наименьшее равно 1.

Размах рассматриваемого ряда данных равен 7 - 1 = 6, т. е. различие в числе верно выполненных заданий велико. Из таблицы видно, что чаще всего встречаются работы, в которых верно выполнено четыре задания, т. е. мода ряда равна 4. Найдём медиану ряда. Так как упорядоченный ряд, составленный по данным таблицы, содержит 25 членов, то медиана равна тринадцатому члену. Вычислим, к какой группе относится тринадцатый член. Суммируя последовательно частоты и сравнивая результат с числом 13, находим, что 1 + 1 + 2 + 7 = 11 и 1 + 1 + 2 + 7 + 5 = 16. Значит, тринадцатый член попадает в ту группу, которую составляют учащиеся, верно выполнившие пять заданий, т. е. медиана ряда равна 5.

Иногда в таблице для каждого данного указывают не частоту, а отношение частоты к общему числу данных в ряду. Это число, выраженное в процентах, называют относительной частотой, а саму таблицу — таблицей относительных частот.

В рассмотренном выше примере таблица относительных частот выглядит следующим образом:

Нетрудно убедиться, что в данном случае сумма относительных частот составляет 100%. Вообще сумма относительных частот, полученных в результате любого исследования, равна 100%.

Заметим, что если в ряду имеется большое число данных и одинаковые значения встречаются редко, то таблицы частот или относительных частот теряют наглядность и становятся излишне громоздкими. В таких случаях для анализа данных строят интервальный ряд. Для этого разность между наибольшим и наименьшим значениями делят на несколько равных частей (примерно 5—10) и, округляя полученный результат, определяют длину интервала. За начало первого интервала часто выбирают наименьшее данное или ближайшее к нему целое число, его не превосходящее. Для каждого интервала указывают число данных, попадающих в этот интервал, или выраженное в процентах отношение этого числа к общей численности данных. При этом граничное число обычно считают относящимся к последующему интервалу.

Пусть, например, на партии из 50 электроламп изучали продолжительность их горения (в часах). По результатам составили такую таблицу:

Пользуясь составленной таблицей, найдём среднюю продолжительность горения. Для этого составим новую таблицу частот, заменив каждый интервал числом, которое является его серединой.

Для полученного ряда данных найдём среднее арифметическое:

(с точностью до десятков).

Значит, средняя продолжительность горения электроламп приближённо равна 870 ч.

Упражнения

  1. Можно ли считать выборку представительной, если при изучении времени, которое затрачивают на выполнение уроков восьмиклассники:

    а) опрашивали только девочек;
    б) опрос проводили только по четвергам;
    в) опрашивали только учащихся гимназий и лицеев?

    Дайте ответы на поставленные вопросы и обоснуйте их. Обсудите, какие категории учащихся следует включить в выборку, чтобы она была представительной.

  2. В ходе опроса предстоит определить, строительству каких культурных и спортивных сооружений отдают предпочтение жители района. Какие категории жителей должны быть включены, на ваш взгляд, в составляемую выборку?
  3. В ходе опроса 40 учащихся школы было выяснено, сколько времени (с точностью до 0,5 ч) в неделю они затрачивают на занятия в кружках и спортивных секциях. Получили следующие данные:

    Представьте этот ряд данных в виде таблицы частот.

  4. При проверке 70 контрольных работ по русскому языку отме-чали число орфографических ошибок, допущенных учащимися. Полученный ряд данных представили в виде таблицы частот.

    Каково наибольшее различие в числе допущенных учащимися ошибок?

    Какое число ошибок является типичным для данной группы учащихся?

    Какие статистические характеристики были использованы при ответе на поставленные вопросы?

  5. Ряд данных о количестве акций одинаковой стоимости, приобретённых сотрудниками лаборатории, представлен в виде таблицы частот.

    Найдите для этого ряда данных среднее арифметическое, размах и моду.

    Что характеризует каждый из этих показателей?

  6. При изучении качества продукции, выпущенной инструментальным цехом машиностроительного завода, определяли число бракованных деталей в каждом из 50 произвольным образом выбранных ящиков с одинаковым числом деталей. Получили такую таблицу:

    Найдите среднее арифметическое, размах и моду полученного ряда данных.

    Что характеризует каждый из этих показателей?

  7. Определяя степень засорённости цветочных семян, выясняли, сколько семян сорных растений содержится в каждом из 100 произвольным образом выбранных пакетов с одинаковым числом семян. Получили такую таблицу:

    Для полученного ряда данных найдите среднее арифметическое и моду.

    Что характеризует каждый из этих показателей?

  8. Учащимся восьмых классов школ некоторого города была предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 6 заданий. При подведении итогов составили таблицу, в которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два, три и т. д. задания.

    Число выполненных заданий Число учащихся

    Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу относительных частот (с точностью до 1%).

  9. При изучении учебной нагрузки учащихся некоторой школы попросили 24 восьмиклассника указать время (с точностью до 1 мин), которое они затратили в определённый день на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили следующие данные:

    Представьте полученные данные в виде интервального ряда с интервалами длиной 5 мин.

  10. Имеются следующие данные о среднесуточной переработке сахара (в тыс. ц) заводами сахарной промышленности некоторого региона:

    Заменяя каждый интервал его серединой, найдите, сколько сахара в среднем перерабатывал в сутки каждый завод региона.

  11. В уравнении х2 - 3рх + (-2)6 = 0 один из корней равен 4. Найдите р.
  12. Найдите сумму квадратов корней уравнения х2 + 12х + 30 = 0.
  13. Решите систему неравенств

  14. Упростите выражение .

Рейтинг@Mail.ru