заработать в соцсетях

 

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

34. Решение неравенств с одной переменной

Неравенство 5х - 11 > 3 при одних значениях переменной х обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, если вместо х подставить число 4, то получится верное неравенство 5 • 4 - 11 >3, а если подставить число 2, то получится неравенство 5 • 2 - 11 > 3, которое не является верным. Говорят, что число 4 является решением неравенства 5х - 11 > 3 или удовлетворяет этому неравенству. Нетрудно проверить, что решениями неравенства являются, например, числа 100, 180, 1000. Числа 2; 0,5; -5 не являются решениями этого неравенства.

Определение: Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

При решении неравенств используются следующие свойства:

1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.

2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Например, неравенство 18 + 6х > 0 (1) равносильно неравенству 6x > -18 (2), а неравенство 6х > -18 равносильно неравенству х > -3.

Указанные свойства неравенств можно доказать, опираясь на свойства числовых неравенств.

Докажем, например, что равносильны неравенства (1) и (2). Пусть некоторое число а является решением неравенства (1), т. е. обращает его в верное числовое неравенство 18 + 6а > 0. Прибавив к обеим частям этого неравенства число -18, получим верное неравенство 18 + 6а - 18 > 0 - 18, т. е. 6а > -18, а это означает, что число а является решением неравенства (2).

Мы показали, что каждое решение неравенства (1) является решением неравенства (2). Аналогично доказывается, что каждое решение неравенства (2) служит решением неравенства (1). Таким образом, неравенства (1) и (2) имеют одни и те же решения, т. е. являются равносильными.

Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств неравенств в общем виде.

Приведём примеры решения неравенств.

Пример 1. Решим неравенство 16x > 13x + 45.

Решение: Перенесём слагаемое 13x с противоположным знаком в левую часть неравенства:

16х - 13х > 45.

Приведём подобные члены:

3х > 45.

Разделим обе части неравенства на 3:

х > 15.

Множество решений неравенства состоит из всех чисел, больших 15. Это множество представляет собой открытый числовой луч (15; +оо), изображённый на рисунке 42.

Рис. 42

Ответ можно записать в виде числового промежутка (15; +оо) или в виде неравенства х > 15, задающего этот промежуток.

Пример 2. Решим неравенство 15х - 23(x + 1) > 2x + 11.

Решение: Раскроем скобки в левой части неравенства:

15х - 23x - 23 > 2x + 11.

Перенесём с противоположными знаками слагаемое 2х из правой части неравенства в левую, а слагаемое -23 из левой части в правую и приведём подобные члены:

Разделим обе части на -10, при этом изменим знак неравенства на противоположный:

x < -3,4.

Множество решений данного неравенства представляет собой открытый числовой луч (-оо; -3,4), изображённый на рисунке 43.

Рис. 43

Ответ: (-оо; -3,4).

Пример 3. Решим неравенство

Решение: Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т. е. на 6. Получим

Отсюда

Ответ: (-12; +оо).

В каждом из рассмотренных примеров мы заменяли заданное неравенство равносильным ему неравенством вида ах > b или ах < b, где а и b — некоторые числа. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.

В приведённых примерах мы получали линейные неравенства, в которых коэффициент при переменной не равен нулю. Может случиться, что при решении неравенства мы придём к линейному неравенству вида 0 • х > b или 0 • х < b. Неравенство такого вида, а значит, и соответствующее исходное неравенство либо не имеют решений, либо их решением является любое число.

Пример 4. Решим неравенство

2(х + 8) - 5х < 4 - Зх.

Решение: Имеем

2х + 16 - 5х < 4 - Зх,
2х - 5х + Зх < 4 - 16.

Приведём подобные члены в левой части неравенства и запишем результат в виде 0 • х:

0 • х < -12. Полученное неравенство не имеет решений, так как при любом значении х оно обращается в числовое неравенство 0 < -12, не являющееся верным. Значит, не имеет решений и равносильное ему заданное неравенство.

Ответ: решений нет.

Упражнения

  1. Является ли решением неравенства 5у > 2(у - 1) + 6 значение у, равное:

  2. Укажите два каких-либо решения неравенства 2х < х + 7.
  3. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

  4. Решите неравенство:

  5. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

  6. Решите неравенство 5х + 1 > 11. Укажите три каких-нибудь решения этого неравенства.
  7. Решите неравенство Зx - 2 < 6. Является ли решением этого неравенства число: 4; ?
  8. Решите неравенство:

  9. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной

  10. а) При каких значениях х двучлен 2х - 1 принимает положительные значения?
    б) При каких значениях у двучлен 21- Зу принимает отрицательные значения?
    в) При каких значениях с двучлен 5 - Зс принимает значения, большие 80?
  11. а) При каких значениях а значения двучлена 2а - 1 меньше значений двучлена 7 - 1,2а?
    б) При каких значениях р значения двучлена 1,5р - 1 больше значений двучлена 1 + 1,1 р?
  12. Решите неравенство:

  13. Решите неравенство:

  14. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:

  15. Решите неравенство:

  16. Решите неравенство:

  17. Решите неравенство:

  18. Решите неравенство:

  19. При каких значениях у:

    а) значения дроби больше соответствующих значений дроби ;
    б) значения дроби меньше соответствующих значении дроби ;
    в) значения двучлена 5у - 1 больше соответствующих значении дроби ;
    г) значения дроби меньше соответствующих значении двучлена 1 - бу?

  20. Решите неравенство:

  21. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:

  22. Решите неравенство:

  23. Решите неравенство:

  24. а) При каких значениях а сумма дробей положительна?
    б) При каких значениях b разность дробей отрицательна?
  25. Решите неравенство:

  26. При каких значениях х функция, заданная формулой у = 2х +13, принимает положительные значения? отрицательные значения?
  27. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

  28. Найдите область определения функции:

  29. Найдите:

    а) наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству

    1,6 - (3 - 2у) < 5;

    б) наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству

    8(6 - у) < 24,2 - 7у.

  30. При каких натуральных значениях п:

    а) разность (2 - 2n) - (5n - 27) положительна;
    б) сумма (-27,1 + Зn) + (7,1 + 5n) отрицательна?

  31. Найдите множество значений а, при которых уравнение

    (а + 5)х2 + 4x - 20 = 0

    не имеет корней.

  32. Найдите множество значений k, при которых уравнение

    (k - 4)x2 + 16х - 24= 0

    имеет два корня.

  33. Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 4 см?
  34. Длина основания прямоугольного параллелепипеда 12 дм, ширина 5 дм. Какой должна быть высота параллелепипеда, чтобы его объём был меньше объёма куба с ребром 9 дм?
  35. Одна из переплётных мастерских берёт по 48 р. за книгу и ещё 140 р. за оформление заказа, а другая — по 56 р. за книгу и 90 р. за оформление заказа. Укажите наименьшее число книг, при котором заказ выгоднее сделать в первой мастерской.
  36. За денежный почтовый перевод до 1000 р. в некотором городе берётся плата 7 р. плюс 5% от переводимой суммы. Посетитель имеет 800 р. Укажите наибольшее целое число рублей, которое он может перевести.
  37. Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 ч. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч?
  38. Найдите значение дроби при х = 1 - .
  39. Решите уравнение:

  40. Решите графически уравнение = х2.
  41. Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Рейтинг@Mail.ru