заработать в соцсетях

 

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

33. Числовые промежутки

Пусть а и b — некоторые числа, причём a < b. Отметим на координатной прямой точки с координатами а и b (рис. 28).

Рис. 28

Если точка расположена между ними, то ей соответствует число х, которое больше а и меньше b. Верно и обратное: если число х больше а и меньше b, то оно изображается точкой, лежащей между точками с координатами а и b. Множество всех чисел, удовлетворяющих условию а ≤ х ≤ b, изображается на координатной прямой отрезком, ограниченным точками с координатами а и b (рис. 29).

Рис. 29

Это множество называют числовым отрезком или просто отрезком и обозначают так: [а; b] (читают: отрезок от а до b).

Множество чисел, удовлетворяющих условию а < х < b, называют интервалом и обозначают так: (а; b) (читают: интервал от а до b). На рисунке 30 это множество показано штриховкой. Светлые кружки означают, что числа а и Ь не принадлежат этому множеству.

Рис. 30

Множества чисел х, для которых выполняются двойные неравенства а ≤ х < b или а < х ≤ b, называют полуинтервалами и обозначают соответственно [а; b) и (а; b] (читают: полуинтервал от а до b, включая а; полуинтервал от а до b, включая b). Эти полуинтервалы изображены на рисунках 31 и 32.

Рис. 31

Рис. 32

Числовые отрезки, интервалы и полуинтервалы называют числовыми промежутками.

Приведём другие примеры числовых промежутков.

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х ≥ а, изображается лучом с началом в точке а, расположенным вправо от неё (рис. 33). Это множество называют числовым лучом и обозначают так: [а; +оо) (читают: числовой луч от а до плюс бесконечности).

Рис. 33

Множество чисел, удовлетворяющих условию х > а, изображается тем же лучом, исключая точку а (рис. 34). Его называют открытым числовым лучом и обозначают так: (а; +оо) (читают: открытый числовой луч от а до плюс бесконечности).

Рис. 34

На рисунках 35 и 36 изображены множества чисел х, для которых выполняются неравенства х ≤ а и х < а. Эти множества обозначают соответственно (-оо; а] и (-оо; а) (читают: числовой луч от минус бесконечности до а; открытый числовой луч от минус бесконечности до а).

Рис. 35

Рис. 36

Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его называют числовой прямой и обозначают так: (-оо; +оо).

Обозначения числовых промежутков, их названия и изображение на координатной прямой показаны в таблице.

Выясним, какое множество является пересечением и какое объ единением некоторых числовых промежутков.

Пример 1. Найдём пересечение и объединение числовых промежутков [1; 5] и [3; 7] (рис. 37).

Рис. 37

Решение: Имеем

[1; 5] ∩ [3; 7] = [3; 5];
[1; 5] U [3; 7] = [1; 7].

Пример 2. Найдём пересечение и объединение числовых промежутков [-4; +оо) и [3; +оо) (рис. 38).

Рис. 38

Решение: Имеем

[-4; +оо) ∩ [3; +оо) = [3; +оо);
[-4; +оо) U [3; +оо) = [-4; +оо).

Заметим, что если числовые промежутки не имеют общих элементов, то их пересечением является пустое множество. Например,

[1; 4] ∩ [7; +оо) = 0 (рис. 39).

Рис. 39

Следует иметь также в виду, что объединение числовых промежутков не всегда представляет собой числовой промежуток. Например, множество [0; 4] U [6; 10] не является числовым промежутком (рис. 40).

Рис. 40

Упражнения

  1. Изобразите на координатной прямой промежуток и назовите его:

  2. Назовите промежутки, изображённые на рисунке 41, и обозначьте их.

    Рис. 41

  3. Изобразите на координатной прямой промежуток и назовите его:

  4. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству:

  5. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству:

  6. а) Принадлежит ли интервалу (-4; 6,5) число: -3; -5; 5; 6,5; -3,9; -4,1?
    б) Принадлежит ли отрезку [-8; -5] число: -9; -8; -5,5; -5; -6; -7,5?
  7. Какие из чисел -1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 принадлежат промежутку:

    а) [-1,5; 6,5];
    б) (3; +со);
    в) (-оо; -1]?

  8. Принадлежит ли интервалу (1,5; 2,4) число:

  9. Укажите все дроби вида , где а ∈ N, принадлежащие промежутку .
  10. Какие целые числа принадлежат промежутку:

    а) (-4; 3);
    б) [-3; 5]?

  11. Какие целые числа принадлежат промежутку:

    а) [0; 8];
    б) (-3; 3);
    в) (-5; 2);
    г) (-4; 9]?

  12. Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:

    а) [-12; -9];
    б) [-1; 17);
    в) (-оо; 31];
    г) (-оо; 8).

  13. Принадлежит ли промежутку (-оо; 2) число 1,98? Укажите два числа, большие 1,98, принадлежащие этому промежутку. Можно ли найти наибольшее число, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в этом промежутке наименьшее число?

  14. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:

  15. Сколько целых чисел принадлежит пересечению интервалов (-3,9; 2) и (-4,3; 1)? Выберите верный ответ:

    1. Три
    2. Четыре
    3. Пять
    4. Шесть

  16. Покажите штриховкой на координатной прямой объединение промежутков:

  17. Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение промежутков:

  18. Упростите выражение:

  19. Докажите неравенство а2 + 5 > 2а.
  20. Пассажир проехал в поезде 120 км и вернулся с обратным поездом, проходящим в час на 5 км больше. Определите скорость каждого поезда, если известно, что на обратный путь он затратил на 20 мин меньше.
  21. При каком х значение функции, заданной формулой у = , равно -1?

Рейтинг@Mail.ru