заработать в соцсетях

 

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

31. Погрешность и точность приближения

По графику функции у = х2 нашли приближённые значения этой функции при х = 1,5 и х = 2,1:

если х = 1,5, то у ≈ 2,3;
если х = 2,1, то у ≈ 4,4.

По формуле у = х2 можно найти точные значения этой функции:

если х = 1,5, то у = 1,52 = 2,25;
если х = 2,1, то у = 2,12 = 4,41.

Приближённое значение отличается от точного значения в первом случае на 0,05, а во втором на 0,01, так как:

2,3 - 2,25 = 0,05;     4,41 - 4,4 = 0,01.

Чтобы узнать, на сколько приближённое значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее, т. е. найти модуль разности точного и приближённого значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.

Определение: Абсолютной погрешностью приближённого значения называют модуль разности точного и приближённого значений.

Так, в рассмотренном примере абсолютная погрешность приближённого значения, равного 2,3, есть 0,05, а абсолютная погрешность приближённого значения, равного 4,4, есть 0,01:

|2,25 - 2,3| = |-0,05| = 0,05;     |4,41 - 4,4| = 0,01.

Найти абсолютную погрешность не всегда возможно. Пусть, например, при измерении длины отрезка АВ, изображённого на рисунке 24, получен результат:

АВ ≈ 4,3 см.

Рис. 24

Мы не можем найти абсолютную погрешность приближённого значения, так как не знаем точного значения длины отрезка АВ. В подобных случаях важно указать такое число, больше которого абсолютная погрешность быть не может. В рассматриваемом примере в качестве такого числа можно взять число 0,1. В самом деле, цена деления линейки 0,1 см, и поэтому абсолютная погрешность приближённого значения, равного 4,3, не больше чем 0,1, т. е.

|АВ - 4,3| ≤ 0,1.

Говорят, что число 4,3 есть приближённое значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) с точностью до 0,1.

Вообще, если х ≈ а и абсолютная погрешность этого приближённого значения не превосходит некоторого числа h, то число а называют приближённым значением х с точностью до h. Пишут:

х ≈ а с точностью до h.

Используют также такую запись:

х = а ± h.

Запись х = а ± h означает, что точное значение переменной х заключено между числами а - h и а + h, т. е.

a - h ≤ x ≤ a + h.

Например, на рулоне обоев написано, что его длина равна 18 ± 0,3 м. Значит, если l — истинное значение длины рулона (в метрах), то

18 - 0,3 ≤ l ≤ 18 + 0,3, т. е. 17,7 ≤ l ≤ 18,3.

Точность приближённого значения зависит от многих причин. В частности, если приближённое значение получено в процессе измерения, его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение. Например, на медицинском термометре деления нанесены через 0,1°. Это даёт возможность измерять температуру с точностью до 0,1°. Комнатный термометр, на котором деления нанесены через 1°, позволяет измерять температуру с точностью до 1°. На торговых весах, у которых цена деления шкалы 5 г, можно взвешивать с точностью до 5 г.

Для оценки качества измерения можно использовать относительную погрешность приближённого значения.

Определение: Относительной погрешностью приближённого значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения.

Относительную погрешность принято выражать в процентах.

В тех случаях, когда абсолютная погрешность приближённого значения неизвестна, а известна только его точность, ограничиваются оценкой относительной погрешности.

Рассмотрим такой пример. При измерении (в сантиметрах) толщины Ь стекла и длины l книжной полки получили такие результаты:

b = 0,4 ± 0,1;     l =100,0 ± 0,1.

В первом случае относительная погрешность не превосходит • 100%, т. е. 25%, а во втором не превосходит • 100%, т. е. 0,1%. Говорят, что в первом случае измерение выполнено с относительной точностью до 25%, а во втором — с относительной точностью до 0,1%. Качество второго измерения намного выше, чем первого.

Упражнения

  1. Округлите числа 17,26; 12,034; 8,654 до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближённых значений.
  2. Найдите абсолютную погрешность приближённого значения, полученного в результате округления:

    а) числа 9,87 до единиц;
    б) числа 124 до десятков;
    в) числа 0,453 до десятых;
    г) числа 0,198 до сотых.

  3. При выполнении вычислений дробь заменили десятичной дробью 0,14. Какова абсолютная погрешность этого приближения?
  4. В каких границах заключено число у, если:

    а) у = 6,5 ± 0,1;
    б) у = 1,27 ± 0,2.

  5. На упаковке простокваши написано, что её надо хранить при температуре 4 ± 2 °С. В каких границах заключено значение температуры t °С, допустимое для хранения?
  6. На упаковке товара указано, что его масса равна 420 г ± 3%. В каких границах заключена масса а г этого товара?
  7. На коробке конфет указано, что она должна храниться при температуре 16 ± 3 °С. Удовлетворяет ли этому условию температура воздуха, равная:

    а) 18°;
    б) 21°;
    в) 14,5°;
    г) 12,5°?

  8. Определяя массу мешка картофеля с точностью до 1 кг, нашли, что она равна 32 кг. Может ли масса этого мешка, измеренная с точностью до 0,1 кг, оказаться равной:

    а) 31,4;
    б) 32,5;
    в) 33,2;
    г) 30,7?

  9. Начертите острый угол и измерьте его с помощью транспортира. Какова точность полученного результата?
  10. При измерении длины стержня пользовались линейкой с миллиметровыми делениями, штангенциркулем (цена деления 0,1 мм) и микрометром (цена деления 0,01 мм). При этом были получены результаты: 17,9 мм, 18 мм, 17,86 мм. Каким инструментом выполнено каждое из указанных измерений и какую точность даёт каждый инструмент?
  11. Округлите число 2,525 до десятых. Найдите относительную погрешность приближения, полученного при округлении.

  12. Выполняя лабораторную работу по определению плотности железа, ученик получил результат 7,6 г/см3. Вычислите относительную погрешность экспериментального результата (табличное значение плотности железа равно 7,8 г/см3).
  13. Поверхность Земли равна 510,2 млн км2 (с точностью до 0,1 млн км2). Оцените относительную погрешность приближённого значения.
  14. Измерили толщину человеческого волоса d и расстояние от Земли до Луны l. Получили d ≈ 0,15 мм с точностью до 0,01 мм и l ≈ 384 000 км с точностью до 500 км. Сравните качество измерений, оценив относительные погрешности.
  15. Сравнивая с нулём значения выражений, ученик получил следующие результаты:

    При этом он допустил ошибку. Найдите её и исправьте.

  16. Докажите неравенство:

  17. а) Разность корней уравнения х2 - 8х + q = 0 равна 16. Найдите q.
    б) Сумма квадратов корней уравнения х2 - 7х + q = 0 равна 29. Найдите q.

Контрольные вопросы и задания

  1. Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств, и докажите их.
  2. Сформулируйте и докажите теоремы о почленном сложении и умножении неравенств.
  3. Оцените сумму, разность, произведение и частное чисел а и Ь, если известно, что 4 < а < 5 и 9 < b < 10.
  4. Что называется абсолютной погрешностью приближённого значения? Объясните смысл записи х = а ± h.
  5. Что называется относительной погрешностью приближённого значения?

Рейтинг@Mail.ru