заработать в соцсетях

 

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений

Многие задачи в математике, физике, технике решаются с помощью квадратных уравнений.

Задача 1. Найдём катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.

Решение: Пусть меньший катет равен х см. Тогда больший катет равен (х + 4) см. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т. е.

Упростим это уравнение:

Решив полученное квадратное уравнение, найдём, что

По смыслу задачи значение х должно быть положительным числом. Этому условию удовлетворяет только второй корень, т. е. число 12.

Ответ: 12 см, 16 см.

Задача 2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?

Решение: Из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h (м), на которой брошенное вертикально вверх тело окажется через t (с), может быть найдена по формуле

где v0 (м/с) — начальная скорость, g — ускорение свободного падения, приближённо равное 10 м/с2.

Подставив значения h и v0 в формулу, получим

Отсюда

Решив полученное квадратное уравнение, найдём, что t1 = 2, t2 = 6.

На рисунке 21 дан график зависимости h от t, где h = 40t - 5t2. Из графика видно, что тело, брошенное вертикально вверх, в течение первых 4 с поднимается вверх до высоты 80 м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после бросания.

Рис. 21

Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня. Значит, ответ на вопрос задачи таков: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.

Упражнения

  1. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.
  2. Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см2.
  3. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2.
  4. Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 м2.
  5. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см2.
  6. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа.
  7. Площадь доски прямоугольной формы равна 4500 см2. Доску распилили на две части, одна из которых представляет собой квадрат, а другая — прямоугольник. Найдите сторону получившегося квадрата, если длина отпиленного прямоугольника равна 120 см.
  8. От прямоугольного листа картона длиной 26 см отрезали с двух сторон квадраты, сторона каждого из которых равна ширине листа. Площадь оставшейся части равна 80 см2. Найдите ширину листа картона. Покажите, что задача имеет два решения, и для каждого случая сделайте чертеж (в масштабе 1 : 2).
  9. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой — на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.
  10. В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нём имеется 884 места?

  11. Старинная задача. Стая обезьян забавляется. Восьмая часть их в квадрате резвится в лесу. Остальные двенадцать кричат на вершине холма. Скажи мне, сколько всего обезьян?
  12. Старинная задача. Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?
  13. Число диагоналей р выпуклого многоугольника вычисляется по формуле , где n — число сторон. В каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?
  14. При розыгрыше первенства школы по футболу было сыграно 36 матчей, причём каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Сколько команд участвовало в розыгрыше?
  15. В шахматном турнире было сыграно 45 партий. Определите число участников турнира, если известно, что каждый участник сыграл с каждым по одной партии.
  16. От прямоугольного листа картона, длина которого равна 60 см, а ширина — 40 см, отрезали по углам равные квадраты и из оставшейся части склеили открытую коробку. Найдите сторону квадрата, если известно, что площадь основания коробки равна 800 см2.

  17. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 869.
  18. Сократите дробь:

  19. Найдите значение выражения:

  20. Решите уравнение:

  21. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции у = 13х - 2,6 с осью х и осью у.

Рейтинг@Mail.ru