заработать в соцсетях

 

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Мы рассмотрели ряд преобразований выражений, содержащих квадратные корни. К ним относятся преобразования корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня. Рассмотрим другие примеры преобразований выражений, содержащих квадратные корни.

Пример 1. Упростим выражение

Решение: Вынесем за знак корня в выражении число 2, а в выражении д/45а число 3. Получим

Заменив сумму выражением , мы выполнили приведение подобных слагаемых. Запись можно вести короче, не выписывая промежуточный результат.

Пример 2. Сократим дробь .

Решение: Так как , то числитель данной дроби можно представить в виде разности квадратов двух выражений. Поэтому

Пример 3. Преобразуем дробь так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня.

Решение: Умножив числитель и знаменатель дроби на , получим

Мы заменили дробь тождественно равной дробью , не содержащей в знаменателе знака корня. В таких случаях говорят, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.

Пример 4. Найдём с помощью калькулятора приближённое значение выражения с двумя знаками после запятой.

Решение: Вычисления будут проще, если предварительно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель данной дроби на сумму + 1. Получим

Проведя вычисления, найдём, что

Упражнения

  1. Упростите выражение:

  2. Упростите выражение:

  3. Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения:

  4. Выполните действия:

  5. Выполните действия:

  6. Преобразуйте выражение:

  7. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов:

  8. Разложите на множители выражение:

  9. Сократите дробь:

  10. Сократите дробь:

  11. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

  12. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

  13. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

  14. Докажите, что значение выражения:

    а) есть число рациональное;
    б) есть число иррациональное.

  15. Найдите с помощью калькулятора приближённое значение выражения с точностью до 0,01:

    .

  16. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

  17. Докажите, что:

  18. Докажите, что числа 2 - и 2 + являются взаимно обратными, а числа 2 - 5 и - противоположными.

  19. Среди чисел

    есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.

  20. Упростите выражение и найдите его значение при х = -2,5.
  21. Решите уравнение:

  22. Площадь кольца вычисляется по формуле S = π(R2 - г2), где R — радиус внешнего круга, а r — радиус внутреннего круга. Выразите R через S и r.
  23. Напишите для каждой прямой, изображённой на рисунке 20, уравнение, графиком которого является эта прямая.

    Рис. 20

Контрольные вопросы и задания

  1. На примере выражения 3 покажите, как можно внести множитель под знак корня.
  2. На примере выражения покажите, как можно вынести множитель за знак корня.
  3. На примере выражении и покажите, как можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

Рейтинг@Mail.ru