заработать в соцсетях

 

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, b и с верно равенство .

Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях a, b и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т. е. при b ≠ 0 и с ≠ 0.

Пусть = m. Тогда по определению частного а = bm. Умножим обе части этого равенства на с:

ас = (bm)с.

На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:

ас = (bс)m.

Так как bс ≠ 0, то по определению частного

Значит,

Мы показали, что для любых числовых значений переменных а, b и с, где b ≠ 0 и с ≠ 0, верно равенство

(1)

Равенство (1) сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причём b и с — ненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.

Равенство (1) выражает основное свойство рациональной дроби:

если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Например,

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.

Определение: Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей.

Приведём примеры.

Пример 1. Приведём дробь к знаменателю 35у3.

Решение: Так как 35у3 = 7у • 5у2, то, умножив числитель и знаменатель дроби на 35у2, получим: .

Множитель 35у2 называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби .

Пример 2. Приведём дробь к знаменателю х - 2у.

Решение: Для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на -1:

Дробь можно заменить тождественно равным выражением - , поставив знак «минус» перед дробью и изменив знак в числителе:

Вообще

если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

Пример 3. Сократим дробь .

Решение: Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

Сократим полученную дробь на общий множитель а + 3:

Итак,

Пример 4. Построим график функции у = .

Решение: Область определения функции у = множество всех чисел, кроме числа 4. Сократим дробь :

Графиком функции у = является прямая, а графиком функции у = та же прямая, но с «выколотой» точкой (4; 4) (рис. 1).

Рис. 1

Упражнения

  1. Укажите общий множитель числителя и знаменателя и сократите дробь:

  2. Сократите дробь:

  3. Представьте частное в виде дроби и сократите её:

  4. Сократите дробь:

  5. Найдите значение выражения:

  6. Сократите дробь:

  7. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:

  8. Сократите дробь:

  9. Сократите дробь:

  10. Найдите значение дроби:

  11. Сократите дробь:

  12. Представьте частное в виде дроби и сократите её:

  13. Сократите дробь:

  14. (Для работы в парах.) Постройте график функции:

    1) Обсудите, что общего у дробей, задающих функцию в заданиях а) и б). Как надо учитывать эту особенность при построении графиков?
    2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
    3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте замеченные ошибки.

  15. Из выражении выпишите те, которые:

    а) тождественно равны дроби ;
    б) противоположны дроби .

  16. Упростите выражение:

  17. Какой из графиков, изображённых на рисунке 2, является графиком функции у = ?

    Рис. 2

  18. Сократите дробь:

  19. Сократите дробь:

  20. Упростите выражение:

  21. Найдите значение выражения:

  22. Сократите дробь:

  23. (Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях а, отличных от -2 и 2, значение дроби является отрицательным числом?

    1) Выберите произвольное значение а, отличное от -2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
    2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
    3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

  24. Докажите, что значение дроби не зависит от n, где n — натуральное число:

  25. Приведите к знаменателю 24а3b2 следующие дроби:

  26. Представьте выражение 2а + b в виде дроби со знаменателем, равным:

    а) b; б) 5; в) За; г) 2а - b.

  27. Приведите дробь:

  28. Решите уравнение:

  29. Разложите на множители:

  30. Расположите выражения:

    а) : 6; • 0,1; • (-7) в порядке возрастания их значений;
    б) 0,8 • (-0,4); 0,8 : (-0,4); 0,8 - (-0,4); 0,8 + (-0,4) в порядке убывания их значений.

Контрольные вопросы и задания

  1. Приведите примеры целых выражений; дробных выражений.
  2. Какую дробь называют рациональной? Приведите пример.
  3. Дайте определение тождества. Приведите пример.
  4. Сформулируйте и докажите основное свойство дроби.
  5. Сформулируйте правило об изменении знака перед дробью.

Рейтинг@Mail.ru