заработать в соцсетях

 

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

17. Квадратный корень из степени

Найдём значение выражения при х = 5 и при х = - 6:

В каждом из рассмотренных примеров корень из квадрата числа равен модулю этого числа:

Теорема

При любом значении х верно равенство = |x|. (1)

Рассмотрим два случая: х ≥ 0 и х < 0. Если х ≥ 0, то по определению арифметического квадратного корня = х. Если х < 0, то - х > 0, поэтому = = - х. Мы знаем, что |х| = х, если х ≥ 0, и |х| = - х, если х < 0. Значит, при любом х значение выражения совпадает со значением выражения |х|.

Равенство (1) является тождеством. Это тождество применяется при извлечении квадратного корня из степени с чётным показателем. Чтобы извлечь корень из степени с чётным показателем, достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и воспользоваться тождеством (1).

Пример 1. Упростим выражение .

Решение: Представим степень а16 в виде (а8)2 и воспользуемся тождеством (1):

Так как а8 ≥ 0 при любом а, то |а8| = а8. Итак, = а8.

Пример 2. Преобразуем выражение , где х ≤ 0.

Решение: Представим x10 в виде (х5)2, получим

Так как х ≤ 0, то х5 ≤ 0, поэтому |х5|= - х5.

Значит, при х ≤ 0

= - x5.

Пример 3. Найдём значение выражения .

Решение: Представим число 893 025 в виде произведения простых множителей, получим

Пример 4. Упростим выражение .

Решение: Имеем .

Упражнения

  1. Вычислите:

  2. Найдите значение выражения:

  3. Замените выражение тождественно равным:

  4. Упростите выражение:

  5. Упростите выражение , зная, что:

    а) 0 ≤ а < 2;
    б) а ≥ 2.

  6. (Для работы в парах.) Пользуясь калькулятором, найдите значение выражения при х, равном:

    а) 2,71;
    б) 12,62.

    1) Обсудите, как можно упростить выражение, и выполните намеченное преобразование.
    2) Распределите, кто вычисляет значение выражения для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.
    3) Проверьте друг у друга правильность выполненных преобразований и вычислений.

  7. Верно ли равенство:

  8. Упростите выражение:

  9. Найдите значение корня:

  10. Вычислите:

  11. Извлеките корень, представив подкоренное выражение в виде произведения простых множителей:

  12. Вычислите:

  13. На рисунке 19 изображены графики функций

    y = 2x + 2, y = - З и y = -2х + 2.

    Рис. 19

    Для каждой функции укажите её график.

  14. Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πR2H, где R — радиус основания, Н — высота цилиндра. Выразите переменную R через V и Н.

Контрольные вопросы и задания

  1. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения.
  2. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.
  3. Докажите тождество = |х|.
  4. Покажите на примере выражения , как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.

Рейтинг@Mail.ru