заработать в соцсетях

 

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

15. Функция у = √х и её график

Пусть длина стороны квадрата равна а см, а его площадь равна S см2. Каждому значению длины а стороны квадрата соответствует единственное значение его площади S. Зависимость площади квадрата от длины его стороны выражается формулой S = а2, где а ≥ 0.

Наоборот, для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение длины стороны а. Зависимость длины стороны квадрата от его площади выражается формулой а = .

Формулами

S = а2, где а ≥ 0, и а =

задаются функциональные зависимости между одними и теми же переменными, однако в первом случае независимой переменной является длина а стороны квадрата, а во втором — площадь S.

Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы

у = х2, где х ≥ 0,

и

y = .

Мы знаем, что графиком функции у = х2, где х ≥ 0, является часть параболы — её правая ветвь (рис. 16). Построим теперь график функции у = .

Рис. 16

Так как выражение имеет смысл при х ≥ 0, то областью определения функции у = служит множество неотрицательных чисел.

Составим таблицу значений функции у = (приближённые значения у для значений х, не являющихся квадратами целых чисел, можно найти с помощью калькулятора).

Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Проведя от начала координат через эти точки плавную линию так, как это показано на рисунке 17, получим график функции у = .

Рис. 17

Сформулируем некоторые свойства функции у = .

1. Если х = 0, то у = 0, поэтому начало координат принадлежит графику функции.

2. Если х > 0, то у > 0; график расположен в первой координатной четверти.

3. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции; график функции идёт вверх.

Например: .

График функции у = , как и график функции у = х2, где х ≥ 0, представляет собой ветвь параболы. Эти графики симметричны относительно прямой у = х (рис. 18). Доказательство симметрии графиков основано на том, что точки с координатами (а; b) и (b; а) симметричны относительно прямой у = х.

Рис. 18

Пусть точка М (а; b) принадлежит графику функции у = х2, где х ≥ 0. Тогда верно равенство b = а2. По условию а — неотрицательное число, поэтому а = . Значит, при подстановке координат точки N (b; а) в формулу у = получается верное равенство, т. е. точка N (b; а) принадлежит графику функции у = . Верно и обратное: если некоторая точка принадлежит второму графику, то точка, у которой координатами являются те же числа, но взятые в другом порядке, принадлежит первому графику.

Таким образом, каждой точке М (а; b) графика функции у = х2, где х ≥ 0, соответствует точка N (b; а) графика функции у = и наоборот. Так как точки М (а; b) и N (b; а) симметричны относительно прямой у = х, то и сами графики симметричны относительно этой прямой.

Упражнения

  1. Площадь круга может быть вычислена по формуле S = πr2, где r — радиус круга, или по формуле S = , где d — диаметр круга. Задайте формулой зависимость:

    а) г от S;
    б) d от S.

  2. Задайте формулой зависимость:

    а) площади поверхности куба S от длины его ребра а;
    б) длины ребра куба а от площади его поверхности S.

  3. Площадь поверхности шара радиуса R вычисляется по формуле S = 4πR2. Задайте формулой зависимость R от S.
  4. Пользуясь графиком функции у = , найдите:

    а) значение при х = 2,5; 5,5; 8,4;
    б) значение х, которому соответствует = 1,2; 1,7; 2,5.

  5. С помощью графика функции у =
    найдите:

    а) значение функции при х - 0,5; 1,5; 6,5; 7,2;
    б) значение аргумента, которому соответствует значение у = 0,5; 1,5; 1,8; 2,3.

  6. Принадлежит ли графику функции у = точка А (64; 8)? точка В (10 000; 100)? точка С (-81; 9)? точка D (25; -5)?
  7. Пересекает ли график функции у = прямая:

    Если пересекает, то в какой точке?

  8. Докажите, что графики функций у = и у = х + 0,5 не имеют общих точек.
  9. (Для работы в парах.) Имеют ли общие точки графики функций:

    При положительном ответе укажите координаты этих точек.

    1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.
    2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки.
    3) Приведите примеры линейных функций, графики которых: не пересекают график функции у = ; пересекают его в одной точке; пересекают его в двух точках. Обсудите правильность этих примеров.

  10. Какой из графиков линейных функций не пересекает графика функции у = ?

  11. Решите графически уравнение:

  12. Что больше:

  13. Сравните числа:

  14. Расположите в порядке возрастания числа:

  15. Найдите значение выражения:

  16. Имеет ли смысл выражение:

  17. Решите уравнения:

Контрольные вопросы и задания

  1. Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. При каких значениях а выражение имеет смысл?
  2. Имеет ли уравнение х2 = а корни при а > 0, а = 0, а < 0, и если имеет, то сколько?
  3. Покажите на примере, как извлекается квадратный корень с помощью калькулятора.
  4. Какова область определения функции у = ?
  5. Как расположен график функции у = в координатной плоскости? Пересекает ли этот график прямую у = 25; у = 100; y = 10 000?

Рейтинг@Mail.ru