заработать в соцсетях

 

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

13. Уравнение х2 = а

Рассмотрим уравнение х2 = а, где а — произвольное число. В зависимости от числа а при решении этого уравнения возможны три случая.

Если а < 0, то уравнение х2 = а корней не имеет. Действительно, не существует числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу.

Если а = 0, то уравнение имеет единственный корень, равный нулю, так как существует единственное число 0, квадрат которого равен нулю.

Если а > 0, то уравнение имеет два корня. Чтобы убедиться в этом, обратимся к графику функции у = х2 (рис. 13).

Рис. 13

Прямая у - а при а > 0 пересекает параболу у = х2 в двух точках. Обозначим абсциссы точек пересечения х1 и х2. Тогда х12 = а и х22 = а, значит, числа х1 и х2 — корни уравнения х2 = а. Так как х2 есть положительное число, квадрат которого равен а, то х2 является арифметическим квадратным корнем из а, т. е. х2 = . Так как х1 есть число, противоположное х2, то х1 = - .

Например:

  • уравнение х2 = 49 имеет корни x1 = - и х2 = , т. е. х1 = -7 и х2 = 7;
  • уравнение x2 = 6,25 имеет корни x1 = и х2 = , т. е. х1 = -2,5 и х2 = 2,5;
  • уравнение х2 = имеет корни х1 = - и х2 = , т. е. х1 = - и х2 = .

Уравнение х2 = 2 имеет корни x1 = - и х2 = . Эти корни являются иррациональными числами, так как не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. С помощью графика функции у = х2 легко найти приближённые значения этих корней: ≈ 1,4 и - ≈ -1,4 (рис. 14).

Рис. 14

Уравнения х2 = 3, х2 = 5, х2 = 6,5 имеют соответственно корни - и , - и , - и . Эти корни также являются иррациональными числами.

Вообще, при любом а ≥ 0 уравнение х2 = а имеет неотрицательный корень ; иными словами, какое бы число а ≥ 0 мы ни взяли, найдётся неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это означает, что

выражение имеет смысл при любом а ≥ 0.

Упражнения

  1. Имеет ли корни уравнение:

  2. Решите уравнение:

  3. Решите уравнение и с помощью графика функции у = х2 найдите приближённые значения его корней:

  4. Решите уравнение:

  5. Найдите корни уравнения:

  6. Решите уравнение:

  7. Имеет ли смысл выражение при х = - 3,4; 0; 1,2; 1,6; 2,4?
  8. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

  9. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение:

  10. Найдите квадрат числа:

  11. Найдите значение выражения:

  12. Вычислите:

  13. Вычислите:

  14. Найдите значение выражения:

  15. Найдите значение выражения при х = - 8; - 5; 1; 7; 128.

    Чему равно значение выражения , если:

    а) х > 0;
    б) х < 0?

  16. Найдите значение выражения:

  17. Изобразите схематически в одной и той же системе координат графики функций у = и у = 10x. Имеют ли эти графики общие точки и если имеют, то сколько?

Рейтинг@Mail.ru