заработать в соцсетях

 

Учебник для 8 класса

Алгебра

   

1. Рациональные выражения

В курсе алгебры 7 класса мы занимались преобразованиями целых выражений, т. е. выражений, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются выражения

В отличие от них выражения

помимо действии сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.

Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение — не имеет смысла при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет смысл. Выражение имеет смысл при тех значениях х и у, когда х ≠ у.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Выражение вида называется, как известно, дробью.

Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.

Примерами рациональных дробей служат дроби

В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

Пример 1. Найдём допустимые значения переменной в дроби

Решение Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обращается в нуль, нужно решить уравнение а(а - 9) = 0. Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.

Пример 2. При каком значении х значение дроби равно нулю?

Решение Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда а - 0 и b ≠ 0.

Числитель дроби равен нулю, если (х - 2)2 = 25, т. е. х - 2 = 5 или х - 2 = -5. Итак, числитель дроби равен нулю при х = 7 и х = -3. Знаменатель данной дроби не равен нулю, если х ≠ -3. Значит, данная дробь равна нулю при х = 7.

Упражнения

  1. 1. Какие из выражений

    являются целыми, какие — дробными?

  2. Из рациональных выражений

    выпишите те, которые являются:

    а) целыми выражениями;
    б) дробными выражениями.

  3. Найдите значение дроби при у = 3; 1; -5; ; -1,6; 100.
  4. Найдите значение дроби:

  5. Чему равно значение дроби при:

  6. Заполните таблицу:

  1. а) Из формулы выразите: переменную s через v и t; переменную t через s и v.
    б) Из формулы выразите переменную V через ρ и m.
  2. Из городов А и В, расстояние между которыми s км, вышли в одно и то же время навстречу друг другу два поезда. Первый шёл со скоростью v1 км/ч, а второй — со скоростью v2 км/ч. Через t ч они встретились. Выразите переменную t через s, v1 и v2. Найдите значение t, если известно, что:

    а) s = 250, v1 = 60, v2 = 40;
    б) s = 310, v1 = 75, v2 = 80.

  3. Составьте дробь:

    а) числитель которой — произведение переменных х и у, а знаменатель — их сумма;
    б) числитель которой — разность переменных а и b, а знаменатель — их произведение;
    в) числитель которой — сумма переменных с и d, а знаменатель — их разность.

  4. При каких значениях переменной имеет смысл рациональное выражение:

  5. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

  6. Найдите допустимые значения переменной в выражении:

  7. Найдите область определения функции:

  8. При каком значении переменной значение дроби равно:

    а) 1; б) 0; в) -1; г) 3?

  9. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:

  10. Определите знак дроби , если известно, что:

  11. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:

  12. При каком значении а принимает наибольшее значение дробь:

  13. При каком значении Ъ принимает наименьшее значение дробь:

  14. Чему равно наибольшее значение дроби ? Выберите верный ответ.

    1. Равно 0; 2. Равно 1; 3. Равно 2; 4. Равно 3

  15. Преобразуйте в многочлен:

  16. Разложите на множители:

Рейтинг@Mail.ru