Учебник для 7 класса

Алгебра

       

9. Среднее арифметическое, размах и мода

При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 семиклассников. Их попросили отметить в определённый день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Имея этот ряд данных, можно определить, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания но алгебре. Для этого надо сложить указанные 12 чисел и сумму разделить на 12:

Число 27, полученное в результате, называют средним, арифметическим рассматриваемого ряда чисел.

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Мы нашли, что на выполнение домашнего задания по алгебре учащиеся затратили в среднем но 27 мин. Проводя аналогичные наблюдения за этой группой учащихся, можно проследить, какова была средняя затрата времени на выполнение домашнего задания по алгебре в течение недели, сравнить среднюю затрату времени на выполнение в какой-либо день домашних заданий по алгебре и русскому языку и т. п. Заметим, что для серьёзных выводов о загруженности учащихся домашними заданиями необходимо выделить для наблюдений значительно большую группу, чем 12 человек.

Среднее арифметическое представляет собой то значение величины, которое получается, когда сумма всех наблюдаемых значений мысленно распределяется поровну между единицами наблюдения. Например, вычислив среднее арифметическое удоев молока, полученных за сутки на ферме от всех коров, мы найдём тот удой, который получили бы на ферме в эти сутки от одной коровы, если бы все коровы давали одинаковое количество молока, т. е. найдём среднесуточный удой молока на ферме от одной коровы. Аналогично находят среднюю урожайность пшеницы с 1 га в районе, среднюю выработку рабочего бригады за смену и т. п.

Заметим, что иногда вычисление среднего арифметического не даёт полезной информации. Например, нецелесообразно использовать в качестве обобщающего показателя среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве, средний размер обуви, которую носят учащиеся школы.

В рассмотренном примере мы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре но 27 мин. Однако анализ приведённого ряда данных показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от 27 мин, т. е. от среднего арифметического. Наибольший расход равен 37 мин, а наименьший — 18 мин. Разность между наибольшим и наименьшим расходом времени составляет 19 мин. В этом случае говорят, что размах ряда равен 19.

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Размах ряда находят, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду. Пусть, например, в течение суток отмечали каждый час температуру воздуха в городе. Для полученного ряда данных полезно не только вычислить среднее арифметическое, показывающее, какова среднесуточная температура, но и найти размах ряда, характеризующий колебание температуры воздуха в течение этих суток.

При анализе сведений о времени, затраченном семиклассниками на выполнение домашнего задания по алгебре, нас могут интересовать не только среднее арифметическое и размах полученного ряда данных, но и другие показатели. Интересно, например, знать, какой расход времени является типичным для выделенной группы учащихся, т. е. какое число встречается в ряду данных чаще всего. Нетрудно заметить, что таким числом является число 25. Говорят, что число 25 — мода рассматриваемого ряда.

Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем. Например, в ряду чисел

47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 53, 47, 52

две моды — это числа 47 и 52, так как каждое из них встречается в ряду но три раза, а остальные числа — менее трёх раз.

В ряду чисел

69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72

моды нет.

Моду ряда данных обычно находят, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Например, если изучаются данные о размерах мужских сорочек, проданных в определённый день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Среднее арифметическое в этом случае не даёт полезной информации. Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели, цены на товар данного вида, распространённой на рынке, и т. п.

Рассмотрим ещё пример. Пусть, проведя учёт деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных:

Найдём для него среднее арифметическое, размах и моду. Для этого удобно предварительно составить из полученных данных упо рядоченный ряд чисел, т. е. такой ряд, в котором каждое последующее число не меньше (или не больше) предыдущего. Получим

Вычислим среднее арифметическое:

Размах ряда равен 39 - 35 = 4. Мода данного ряда равна 36, так как число 36 чаще всего встречается в этом ряду.

Итак, средняя выработка рабочих за смену составляет примерно 37 деталей; различие в выработке рабочих не превосходит 4 деталей; типичной является выработка, равная 36 деталям.

Среднее арифметическое ряда чисел может не совпадать ни с одним из чисел ряда, а мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда. Кроме того, в отличие от среднего арифметического понятие «мода» относится не только к числовым данным. Например, проведя опрос учащихся, можно получить ряд данных, показывающих, каким видом спорта они предпочитают заниматься, какую из развлекательных телевизионных программ они считают наиболее интересной. Модой будут служить те ответы, которые встречаются чаще всего. Этим и объясняется само название «мода».

Такие характеристики, как среднее арифметическое, размах и мода, находят применение в статистике — науке, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе. Слово «статистика» происходит от латинского слова status, которое означает «состояние, положение вещей». Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и её регионов, производство и потребление разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и т. п. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

Упражнения

  1. Найдите среднее арифметическое и размах ряда чисел:

  2. Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел:

  3. Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел:

  4. Как могут измениться размах и мода ряда чисел, если:

    а) дополнить его числом, превосходящим все остальные;
    б) вычеркнуть из него число, меньшее всех остальных;
    в) дополнить его числом, равным наибольшему из чисел?

  5. В таблице показан расход электроэнергии некоторой семьёй в течение года:

    Найдите средний ежемесячный расход электроэнергии этой семьёй.

  1. В таблице приведены данные о продаже в течение недели картофеля, завезённого в овощную палатку:

    Сколько картофеля в среднем продавали ежедневно в эту неделю?

  1. Сроднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?
  2. Среднее арифметическое ряда, состоящего из девяти чисел, равно 13. Из этого ряда вычеркнули число 3. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?
  3. В ряду чисел 2, 7, 10, _, 18, 19, 27 одно число оказалось стёртым. Восстановите его, зная, что среднее арифметическое этого ряда чисел равно 14.
  4. (Для работы в парах.) В ряду чисел 3, 8, 15, 30, _, 24 пропущено одно число. Найдите его, если:

    а) среднее арифметическое ряда равно 18;
    б) размах ряда равен 40.

    1. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
    2. Проверьте друг у друга правильность выполнения задания.
    3. Обсудите, почему в задании б) получаются два ответа.
  5. В таблице показано число деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады:

    Для представленного в таблице ряда чисел найдите среднее арифметическое, размах и моду. Каков смысл каждого из этих показателей?

  1. На соревнованиях по фигурному катанию выступление спортсмена было оценено следующими баллами:

    5,2, 5,4, 5,5, 5,4, 5,1, 5,1, 5,4, 5,5, 5,3.

    Для полученного ряда чисел найдите среднее арифметическое, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?

  2. В аттестате о среднем образовании у четырёх друзей — выпускников школы — оказались следующие оценки:

    Ильин: 4, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 4, 4;
    Семёнов: 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 4;
    Попов: 5, 5, «S, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4;
    Романов: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 3, 4, 4.

    С каким средним баллом окончил школу каждый из друзей? Укажите наиболее типичную для каждого из них оценку в аттестате. Какие статистические характеристики вы использовали при ответе?

  3. В фермерском хозяйстве отведены под пшеницу три участка, площади которых равны 12 га, 8 га и 6 га. Средняя урожайность на первом участке составляет 18 ц с 1 га, на втором — 19 ц с 1 га, на третьем — 23 ц с 1 га. Чему равна средняя урожайность пшеницы в этом хозяйстве? Можно ли найти среднюю урожайность пшеницы, вычислив среднее арифметическое чисел 18, 19 и 23?
  4. Проведя учёт числа бракованных деталей в 10 ящиках с одинаковым числом деталей, получили следующий ряд данных:

    1, 2, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 3, 2.

    Найдите для этого ряда среднее арифметическое, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?

  5. Каждый из 24 участников соревнований но стрельбе произвёл по десять выстрелов. Отмечая всякий раз число попаданий в цель, получили следующий ряд данных:

    6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8, 6, 6, 5, 6, 4, 3, 6, 5.

    Найдите для этого ряда размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?

  6. В таблице записаны результаты ежедневного измерения в полдень температуры воздуха в течение первой декады марта:

    Найдите среднюю температуру в полдень в эту декаду. Составьте таблицу отклонений от средней температуры воздуха в полдень в каждый из дней декады.

  1. (Задача исследование.) Средний возраст сотрудников отдела компьютерной вёрстки, в котором работали 12 человек, составлял 30,5 года. После того как из отдела уволился двадцатилетний Олег и на ого место пришёл Игорь, средний возраст сотрудников отдела стал составлять 31 год. Сколько лет Игорю?
    1. Выскажите предположение о возрасте Игоря.
    2. Найдите первоначальную сумму возрастов сотрудников отдела.
    3. Обозначив возраст Игоря через х (лет), найдите, какой стала сумма возрастов сотрудников отдела.
    4. Выразите через х, каким стал средний возраст сотрудников отдела.
    5. Составьте уравнение и решите его.
    6. Подтвердилось ли ваше предположение о возрасте Игоря?
  2. Книгу в 296 страниц ученик прочитал за три дня. Во второй день он прочитал на 20% больше, чем в первый, а в третий — на 24 страницы больше, чем во второй. Сколько страниц прочитал ученик в первый день?

Рейтинг@Mail.ru