Учебник для 7 класса

Алгебра

       

7. Линейное уравнение с одной переменной

Каждое из уравнений 5x = -4, -0,2x = 0, -x = -6,5 имеет вид ах = b, где x — переменная, а и b — числа. В первом уравнении а = 5, b = -4, во втором а = -0,2, b = 0, в третьем а = -1, b = -6,5.

Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.

Определение: Уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Выясним, сколько корней может иметь линейное уравнение. Рассмотрим уравнение ах = b, в котором коэффициент а не равен нулю. Разделив обе части уравнения на а, получим x = . Значит, линейное уравнение ах = b, в котором а ≠ 0, имеет единственныи корень .

Рассмотрим уравнение ах = b, у которого коэффициент а равен нулю. Если а = 0 и b ≠ 0, то уравнение ах = b не имеет корней, так как равенство 0х = b не является верным ни при каком х. Если а = 0 и b = 0, то любое значение х является корнем уравнения, так как равенство 0х = 0 верно при любом х.

Линейное уравнение ах = b при а ≠ 0 имеет один корень, при а = 0 и b ≠ 0 не имеет корней, при а = 0 и b = 0 имеет бесконечно много корней (любое число является его корнем).

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Пример. Решим уравнение 4(х + 7) = 3 - х.

Решение: Раскроем скобки:

4х + 28 = 3 - х.

Перенесём слагаемое -х в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую часть, изменив при этом их знаки:

4х + х = 3 - 28.

Приведём подобные слагаемые:

5х = -25.

Разделим обе части уравнения на 5:

х = -5.

Применяя свойства уравнений и выполняя тождественные преобразования, мы последовательно заменяли одно уравнение другим, равносильным ему. Значит, корнем уравнения 4(х + 7) = 3 - х является число -5.

В этом примере исходное уравнение свелось к равносильному линейному уравнению, в котором коэффициент при переменной отличен от нуля.

Если при решении уравнения мы придём к равносильному ему линейному уравнению вида 0х = b, то в этом случае либо исходное уравнение не имеет корней, либо его корнем является любое число. Решим уравнение 2х + 5 = 2(х + 6):

2х + 5 = 2х + 12,
2х - 2х = 12 - 5,
0х = 7.

Полученное уравнение не имеет корней. Значит, и уравнение 2х + 5 = 2(х + 6) не имеет корней.

Уравнение 3(х + 2) + х = 6 + 4х сводится к уравнению 0x = 0, корнем которого является любое число. Следовательно, корнем уравнения 3(х + 2) + х = 6 + 4х является любое число.

Упражнения

  1. Найдите корень уравнения:

  2. Решите линейное уравнение:

  3. Найдите корень уравнения:

  4. Решите уравнение:

  5. Решите уравнение:

  6. Найдите корень уравнения:

  7. Найдите корень уравнения:

  8. Решите уравнение:

  9. При каком значении переменной значение выражения 8b-27 равно: а) 5; б) -11; в) 1,8; г) -1?
  10. При каком значении переменной:

    а) значения выражений 2m - 13 и m + 3 равны;
    б) значение выражения 3 - 5с на 1 меньше значения выражения 1 - с;
    в) значение выражения 2х + 1 на 20 больше значения выражения 8x + 5;
    г) значение х в 3 раза меньше значения выражения 45 - 10x;
    д) значение выражения 9 - у в 2 раза больше значения у?

  11. При каком значении у:

    а) значения выражений 5у + 3 и 36 - у равны;
    б) значение выражения 7у - 2 больше значения выражения 2у на 10;
    в) значение выражения 1,7y + 37 меньше значения выражения 9,3у - 25 на 14?

  12. Решите уравнение:

  13. Решите уравнение:

  14. Укажите все целые значения у, при которых верно двойное неравенство:

  15. Подберите какое-нибудь число, заключённое между данными числами. Результат запишите в виде двойного неравенства:

  16. Отметьте в координатной плоскости точки А(-3; 4), В(6; 5), С(5; 0), D(-3; 0).
  17. Упростите выражение и найдите его значение:

Рейтинг@Mail.ru