Учебник для 7 класса

Алгебра

       

Задачи повышенной трудности

  1. Найдите все натуральные значения а, при которых корень уравнения (а - 1)x = 12 является натуральным числом.
  2. Решите уравнение:

  3. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая — с пятой и третья — с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.
  4. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, затем увеличилось на 10%, а во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?

  1. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы — 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 11 кг свежих?
  2. Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в нервом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?
  3. Докажите, что сумма 13 + 23 + ... + 993 делится на 100.
  4. Число а составляет 80% числа b, а число с составляет 140% числа b. Найдите числа а, b и с, если число с больше а на 72.
  5. Число а составляет 75% числа b и 40% числа с. Число с на 42 больше числа b. Найдите числа а и b.
  6. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы его цифр?
  7. Делится ли число 111...1 (81 раз) на 81?
  8. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или единица.
  9. К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число, в 23 раза большее первоначального. Найдите это двузначное число.
  10. В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получилось число, которое в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?
  11. Первая цифра трёхзначного числа 8. Если эту цифру переставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найдите первоначальное число.
  12. Постройте график уравнения:

    а) (х - 2) (у + 3) = 0;
    б) х2 + ху = 0.

  13. Постройте график уравнения:

    а) у + |у| = х;
    б) у = х|у|.

  14. Постройте график функции:

    а) у = |х| - 3;
    б) у = 4 - |х|.

  15. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.
  16. Докажите, что значение выражения 9б7 - 225 - 486 кратно 10.
  17. В координатной плоскости (рис. 85) отмечена точка М(х; у).

    Рис. 85

    Отметьте в этой координатной плоскости точки A(2х; 2у),

  18. Что больше:

  19. Представьте выражение 2х2 + 2у2 в виде суммы двух квадратов.
  20. Если х ≠ 0 или у ≠ 0, то значение выражения 15х2 - 18ху + 15у2 положительно. Докажите это.
  21. Разложите на множители многочлен:

    а) х8 + х4 - 2;
    б) а5 - а2 - а - 1;
    в) n4 + 4;
    г) n4 + n2 + 1.

  22. Докажите, что р2 - 1 кратно 24, если р — простое число, большее 3.
  23. Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.
  24. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел но может быть квадратом натурального числа.
  25. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
  26. Упростите выражение

  27. Докажите, что уравнение х2 - у2 = 30 не имеет целых решений.
  28. Докажите, что не существует целых коэффициентов a, b, с и d, таких, что значение многочлена ах3 + bх2 + сх + d равно 1 при х = 19 и равно 2 при х = 62.
  29. Докажите, что если у есть среднее арифметическое х и z, то

    х4 + 2х3z - 2xz3 - z4 - 4х2у2 + 4y2z2 = 0.

  30. Найдите все простые числа р и q, для которых р2 - 2q2 = 1.
  31. При каких значениях a, b, с и d является тождеством равенство

    3 - 32х2 + 75х - 71 = а(х - 2)3 + b(х - 2)2 + с(х - 2) + d?

  32. Представьте многочлен Зх3 + 7х2 + 9х + 6 в виде многочлена ау3 + by2 + су + d, где у = х + 1.
  33. При каких натуральных значениях х и у верно равенство Зх + 7 у = 23?
  34. Решите систему уравнений:

  35. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату двузначного числа и кубу однозначного числа.
  36. Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 168, а их наибольший общий делитель равен 24.
  37. Найдите все нары простых чисел, которые являются решениями уравнения х + у = 26.
  38. Путь от А до В идёт 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км но ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь — за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и под гору, если на ровном месте его скорость 18 км/ч.
  39. Задача Л. Н. Толстого. Вышла в ноле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?

  40. Из двух городов A и B, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин вышли навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус вышел на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?
  41. Из города А в город В в 8 ч 50 мин вышли два автобуса. В то же время из города В в город А выехал велосипедист. Один автобус он встретил в 10 ч 10 мин, а другой — в 10 ч 50 мин. Расстояние между городами 100 км. Найдите скорость велосипедиста, если скорость одного автобуса в 1у раза больше скорости другого.
  42. Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта А в пункт В. Всадник, прибыв в пункт В на 50 мин раньше пешехода, возвратился обратно в пункт А. На обратном пути он встретился с пешеходом в двух километрах от пункта В. На весь путь всадник затратил 1 ч 40 мин. Найдите расстояние от A до В и скорость всадника и пешехода.
  43. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели был на воздухе?
  44. Два брата ходят из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы первый побежал в школу и, добежав до неё, немедленно бросился догонять второго. Оставшись один, второй продолжал идти домой в 2 раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин позже, чем обычно. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?

Рейтинг@Mail.ru