Учебник для 7 класса

Алгебра

       

45. Решение задач с помощью систем уравнений

При решении задач с помощью систем уравнений поступают следующим образом:

1) обозначают некоторые неизвестные числа буквами и, используя условие задачи, составляют систему уравнений;
2) решают эту систему;
3) истолковывают результат в соответствии с условием задачи.

Задача I. Масса 15 кирпичей и 5 шлакоблоков равна 64 кг. Какова масса одного кирпича и одного шлакоблока, если 5 кирпичей тяжелее 2 шлакоблоков на 3 кг?

Решение: Пусть масса кирпича х кг, а шлакоблока у кг. Тогда масса 15 кирпичей и 5 шлакоблоков будет 15х + 5у кг. По условию задачи она равна 64 кг, поэтому 15x + 5у = 64.

Известно, что 5 кирпичей тяжелее 2 шлакоблоков на 3 кг. Значит,

5х-2у = 3.

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения х и у, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т. е. удовлетворяют системе

Решив эту систему, получим, что х = 2,6, у = 5.

Ответ. Масса кирпича 2,6 кг, а шлакоблока 5 кг.

Задача 2. Можно ли разменять сторублёвую купюру пятирублёвыми и однорублёвыми монетами так, чтобы всех монет было 30?

Решение: Допустим, что следует взять х пятирублёвых и у однорублёвых монет. По условию х + у = 30. Так как с помощью этих монет нужно разменять 100 р., то должно выполняться равенство 5х + у = 100. Получили систему уравнений

Решив её, найдём, что х = 17, у = 12.

По смыслу задачи х и у должны быть натуральными числами, а мы получили дробные числа.

Ответ. Разменять сторублёвую купюру указанным способом невозможно.

Упражнения

  1. В фермерском хозяйстве под гречиху и просо отведено 19 га, причём гречиха занимает на 5 га больше, чем просо. Сколько гектаров отведено под каждую из этих культур?
  2. Техническое перевооружение цеха позволило выпустить в феврале на 165 изделий больше, чем в январе. Сколько изделий было выпущено в январе и сколько в феврале, если известно, что за эти месяцы цех выпустил 1315 изделий?
  3. В мастерской «Автосервис» отремонтировали 22 легковых и грузовых автомобиля. Среди них легковых было на 8 меньше, чем грузовых. Сколько грузовых автомобилей отремонтировали в мастерской?
  4. На теннисном корте для игры пар теннисистов выделяется площадка прямоугольной формы. Найдите длину и ширину площадки, если известно, что длина больше ширины на 12,8 м, а периметр прямоугольника равен 69,48 м.
  5. Основание равнобедренного треугольника на 7 см больше его боковой стороны. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 43 см.
  6. Старинная задача. Ослица и мул шли вместе, нагруженные равными но весу мешками. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Что ты жалуешься, — сказал мул, — если ты дашь мне твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я тебе дам один мешок, то наши грузы сравняются». Сколько мешков нёс каждый?
  7. Старинная задача. Если А получит от В 100 рупий, то станет вдвое его богаче, а если А даст В 10 рупий, то В станет вшестеро богаче. Сколько денег у каждого?
  8. Сколько лет брату и сколько лет сестре, если 2 года назад брат был старше сестры в 2 раза, а 8 лет назад — в 5 раз?
  9. Два автомата изготавливают детали. Число деталей, изготовленных первым автоматом за 3 ч и вторым за 2 ч, составляет 720 штук. Четвёртая часть деталей, изготовленных обоими автоматами за 2 ч, составила 150 штук. Сколько деталей изготовлял каждый автомат за час?
  10. За 4 ч езды на автомашине и 7 ч езды на поезде туристы проехали 640 км. Какова скорость поезда, если она на 5 км/ч больше скорости автомашины?
  11. Теплоход проходит за 3 ч по течению и 2 ч против течения 240 км. Этот же теплоход за 3 ч против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 ч по течению. Найдите скорость теплохода против течения и его скорость но течению.
  12. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 280 км, выходят одновременно два автомобиля. Если автомобили будут двигаться навстречу друг другу, то встреча произойдёт через 2 ч. Если же они будут двигаться в одном направлении, то автомобиль, вышедший из А, догонит автомобиль, вышедший из В, через 14 ч. Какова скорость каждого автомобиля?
  13. Два туриста вышли одновременно из двух городов, расстояние между которыми 38 км, и встретились через 4 ч. С какой скоростью шёл каждый турист, если известно, что первый прошёл до встречи на 2 км больше второго?
  14. Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь — за 5 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она проходит за 3,5 ч?
  15. За 3 ч по течению и 4 ч против течения теплоход проходит 380 км. За 1 ч по течению и 30 мин против течения теплоход проходит 85 км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.
  16. На двух полках 55 книг. Если переставить со второй нолки половину книг на первую, то на первой станет в 4 раза больше книг, чем останется на второй. Сколько книг на каждой полке?
  17. Старинная задача. На левой чаше весов, находящихся в равновесии, лежат 9 одинаковых слитков золота, а на правой — 11 одинаковых слитков серебра. Если поменять мостами один слиток золота со слитком серебра, то левая чаша окажется на 13 г легче правой. Сколько весит один слиток золота и один слиток серебра?
  18. Масса 4,5 см3 железа и 8 см3 меди равна 101,5 г. Масса 3 см3 железа больше массы 2 см3 меди на 6,8 г. Найдите плотность железа и плотность меди.
  19. Под озимыми культурами было занято на 480 га больше, чем под яровыми. После того как убрали 80% озимых и 25% яровых культур, площадь, оставшаяся под озимыми, оказалась на 300 га меньше, чем площадь под яровыми. Какая площадь была отведена под яровые и какая под озимые культуры?
  20. Две бригады должны были по плану изготовить за месяц 680 деталей. Первая бригада перевыполнила месячное задание на 20%, а вторая — на 15%, и поэтому обеими бригадами было изготовлено сверх плана 118 деталей. Сколько деталей должна была изготовить но плану каждая бригада за месяц?
  21. Имеется молоко 5% жирности и 1% жирности. Сколько молока каждого вида надо взять, чтобы получить 3 л молока, жирность которого составляет 3,2%?
  22. Имеющиеся 45 000 р. клиент банка разделил на две части. Одну из них он положил на вклад «Депозитный», доход по которому составлял 9% в год, но нельзя было снимать деньги в течение года. Другую часть он положил на вклад «До востребования», доход но которому составлял 1% в год, однако в любое время можно было взять деньги полностью или частично. В результате общий доход, полученный клиентом через год, составил 3410 р. Сколько денег положил клиент на вклад «Депозитный» и сколько на вклад «До востребования»?
  23. Из 10-процентного и 15-процентного растворов соляной кислоты требуется составить 80 г раствора, концентрация которого равна 12%. Сколько граммов каждого раствора надо взять?
  24. Смешав кислоту 70-процентной и 48-процентной концентрации, получили 660 г кислоты 60-процентной концентрации. Сколько было взято кислоты каждого вида?
  25. (Задача исследование.) На сколько надо уменьшить число 100, чтобы нри делении полученной разности как на 5, так и на 7 остаток был равен 1 и при этом первое частное было на 2 больше второго?

    1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.
    2) Составьте систему уравнений и решите её.
    3) Проверьте правильность полученного ответа.

  26. Разложите на множители:

    а) 0,064m3 + 1;
    б) 0,027x3 - у3;
    в) р6 + 8;
    г) 27 - m6.

  27. Докажите тождество

    3 - у3)2 + 2х3у3 = (х2 + у2)(х4 + у4 - х2у2).

  28. В каких координатных четвертях расположен график уравнения:

    а) 2х + 5у = 12;
    б) Зх - 4у = 10?

  29. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой у = -х2 - 6х -11, расположены в нижней полуплоскости.

Контрольные вопросы и задания

  1. В Объясните на примере, как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.
  2. Объясните на примере, как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.

Рейтинг@Mail.ru