Учебник для 7 класса

Алгебра

       

5. Тождества. Тождественные преобразования выражений

Найдём значения выражений 3(х + у) и Зх + Зу при х = 5, у = 4:

3(х + y) = 3(5 + 4) = 3 • 9 = 27,
3x + Зу = 3 • 5 + 3 • 4 = 15 + 12 = 27.

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х + у) и 3x + 3у равны.

Рассмотрим теперь выражения 2х + у и 2ху. При х = 1, у = 2 они принимают равные значения:

2х + у = 2 • 1 + 2 = 4,
2ху = 2 • 1 • 2 = 4.

Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х = 3, у = 4, то

2х + у = 2 • 3 + 4 = 10,
2ху = 2 • 3 • 4 = 24.

Определение. Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

Выражения 3(х + у) и Зх + Зу являются тождественно равными, а выражения 2х + у и 2ху не являются тождественно равными.

Равенство

3(x + у) = Зх + Зу

верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.

Определение.Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством*.

Тождествами считают и верные числовые равенства.

С примерами тождеств вы уже встречались. Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:

а + b = b + а,     (а + b) + с = а + (b + с),
ab = ba,     (аb)с = а(bс),
а(b + с) = аЬ + ас.

Можно привести и другие примеры тождеств:

а + 0 = а,     а + (-а) = 0,     а - b = а + (-b),
а • 1 = а,     а • (-b) = -ab,     (-а)(-b) = аЬ.

Чтобы найти значение выражения ху - хz при заданных значениях х, у и z, надо выполнить три действия. Например, при х = 2,3, у = 0,8, z = 0,2 получаем

ху - хz = 2,3 • 0,8 - 2,3 • 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением х(у - z), тождественно равным выражению ху - хz:

х(у - z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 • 0,6 = 1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение ху - хz тождественно равным выражением х(у - z).

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным, преобразова нием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач.

Некоторые тождественные преобразования вам уже приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:

чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;

если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки;

если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.

Пример 1. Приведём подобные слагаемые в сумме

5х + 2х - Зх.

Решение: Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:

5х + 2х - Зх = (5 + 2 - 3)х = 4х.

Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2. Раскроем скобки в выражении

2а + (b - 3с).

Решение: Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»:

2а + (b - Зс) = 2а + b - Зс.

Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Пример 3. Раскроем скобки в выражении а - (4b - с).

Решение: Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»:

а - (4b - с) = а - 4b + с.

Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое -(4b - с) в виде произведения (-1)(4b - с):

а - (4Ь - с) = а + (-1)(4b - с).

Применив указанные свойства действий, получим

а - (4b - с) = а + (-1)(4b - с) = а + (-4b + с) = а - 4b + с.

Упражнения

  1. Какие свойства действий позволяют утверждать, что тождественно равны выражения:

  2. Являются ли тождественно равными выражения:

  3. Являются ли тождественно равными выражения:

  4. Какие свойства действий позволяют утверждать, что данное равенство является тождеством:

  5. Какое из данных равенств не является тождеством?

  6. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное свойства умножения:

  7. Упростите выражение:

  8. Преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

  9. Замените выражение тождественно равным, используя распределительное свойство умножения:

  10. Среди выражений 2(b - а), -2 (а - b), -2а - 2b, -2а + 2b найдите те, которые тождественно равны выражению 2b - 2а.
  11. Приведите подобные слагаемые:

  12. Приведите подобные слагаемые:

  13. Приведите подобные слагаемые:

  14. Раскройте скобки:

  15. Запишите без скобок выражение:

  16. Упростите выражение:

  17. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

  18. Упростите выражение и найдите его значение:

  19. Упростите выражение:

  20. Докажите, что при любом а значение выражения 3(а + 2) - 3a равно 6.
  21. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

  22. Упростите выражение и найдите его значение:

  23. Составьте выражение но условию задачи и упростите его:

    а) У Игоря 3 альбома с марками. В первом альбоме а марок, во втором — на 15 марок больше, чем в нервом, а в третьем — втрое больше, чем во втором. Сколько марок в трёх альбомах?

    б) Пётр приобрёл 8 билетов лотереи «Надежда» и 6 билетов лотереи «Удача». Билет лотереи «Удача» стоил а р., а лотереи «Надежда» был на 10% дороже. Найдите стоимость покупки.

  24. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

    Ответ запишите в виде неравенства.

  25. Техническое перевооружение цеха позволило выпускать в сутки 180 станков вместо 160. На сколько процентов повысился выпуск станков в сутки?
  26. Отметьте на координатной прямой точки, соответствующие числам:

Контрольные вопросы и задания

  1. Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения.
  2. Какие выражения называются тождественно равными? Приведите пример тождественно равных выражений.
  3. Какое равенство называется тождеством? Приведите пример тождества.

*В дальнейшем понятия «тождественно равные выражения» и «тождество» будут уточнены.

Рейтинг@Mail.ru