Учебник для 7 класса

Алгебра

       

41. График линейного уравнения с двумя переменными

Каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения с переменными хну, изображается в координатной плоскости точкой, координатами которой служит пта пара чисел (абсциссой служит значение х, а ординатой — значение у). Все такие точки образуют график уравнения.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Выясним, что представляет собой график уравнения

Зх + 2у = 6.

Выразим переменную у через х:

у = -1,5x + 3.

Формулой у = -1,5x + 3 задаётся линейная функция, графиком которой служит прямая (рис. 74).

Рис. 74

Так как уравнения

Зх + 2у = 6 и у = -1,5x + 3

равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения Зх + 2у = 6.

С помощью таких же рассуждений можно показать, что графиком любого линейного уравнения с переменными х и у, в котором коэффициент при у не равен нулю, является прямая.

Если в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, а коэффициент при х отличен от нуля, то графиком такого уравнения также является прямая. Рассмотрим, например, уравнение

2х + 0у = 12.

Его решениями служат пары чисел (x; у), в которых х = 6, а у — любое число, например (6; 2), (6; 0), (6; -4,5). График уравнения состоит из всех точек, абсцисса которых равна 6, а ордината — произвольному числу. Такие точки образуют прямую, проходящую через точку (6; 0) и параллельную оси у (рис. 75).

Рис. 75

Графиком линейного уравнения с двумя неременными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

Рассмотрим теперь случай, когда в линейном уравнении оба коэффициента при переменных равны нулю.

Уравнение

ах + by = с,

в котором оба коэффициента при переменных равны нулю, имеет вид 0х + 0у = с. При с = 0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком — вся координатная плоскость. При с ≠ 0 уравнение не имеет решений и его график не содержит ни одной точки.

Приведём примеры построения графиков линейных уравнений.

Пример 1. Построим график уравнения Зх - 4у= 12.

Решение: В уравнении Зх - 4у = 12 коэффициенты при переменных отличны от нуля. Поэтому его графиком является прямая. Прямая определяется двумя точками. Найдём координаты двух каких-либо точек прямой:

    если х = 0, то у = -3;
    если х = 2, то у = -1,5.

Отметим точки (0; -3) и (2; -1,5) и проведём через них прямую (рис. 76). Эта прямая — график уравнения Зх - 4у = 12.

Рис. 76

Пример 2. Построим график уравнения 0,5х = -1,5.

Решение: Это уравнение можно записать в виде 0,5х + 0у = -1,5. Его решениями служат пары чисел, в которых х = -3, у — произвольное число. Графиком уравнения является прямая, проходящая через точку (-3; 0) и параллельная оси у (рис. 77).

Рис. 77

Упражнения

  1. Принадлежит ли графику уравнения Зх + 4у = 12 точка:

  2. Какие из точек A(6; 1), В(-6; -5), С(0; -2), D(-1; 3) принадлежат графику уравнения х - 2у = 4?
  3. Докажите, что графики уравнений 3х - у = -5, -х + 10у = 21, 11х + 21у = 31 проходят через точку P(-1; 2).
  4. Постройте график уравнения:

  5. Постройте график уравнения:

  6. Постройте график уравнения:

  7. На прямой, являющейся графиком уравнения 21х - 5у = 100, взята точка, абсцисса которой равна 3. Найдите ординату этой точки.
  8. Известно, что ордината некоторой точки прямой, являющейся графиком уравнения 12х - 5у = 132, равна 0. Найдите абсциссу этой точки.

  9. (Для работы в парах.) Не выполняя построения, определите, в каких координатных четвертях расположен график уравнения:

    1) Обсудите друг с другом, в каких координатных углах при а > 0, b > 0 может быть расположен график уравнения: ах = b; ay = b; ах + by = с.
    2) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.
    3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

  10. Решение уравнения:

  11. Найдите значение выражения:

Рейтинг@Mail.ru