Учебник для 7 класса

Алгебра

       

40. Линейное уравнение с двумя переменными

Пусть известно, что одно из двух чисел на б больше другого. Если первое число обозначить буквой х, а второе — буквой у, то соотношение между ними можно записать в виде равенства х - у = 5, содержащего две переменные. Такие равенства называют уровнениями с двумя переменными или уравнениями с двумя неизвестными.

Приведём другие примеры уравнений с двумя переменными: 5x + 2у = 10, -7х + у = 5, х2 + у2 = 20, ху - 12. Из этих уравнений первые два имеют вид ах + by = с, где а, b и с — числа. Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.

Определение: Линейным уравнением с двумя пе ременными называется уравнение вида ах + by = с, где х и у — переменные, а, b и с — некоторые числа.

Уравнение х - у = 5 при х = 8, у = 3 обращается в верное равенство 8 - 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных х = 8, у = 3 является решением этого уравнения.

Определение: Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Нетрудно проверить, что решениями уравнения х - у - 5 являются также пары: х = 105, у - 100; х = 4, у = -1; х = 3,5, у = -1,5. Пары значений переменных записывают иногда короче. Например, перечисленные пары можно записать так: (105; 100), (4; -1), (3,5; -1,5). При такой записи необходимо знать, значение какой из переменных стоит на нервом месте, а какой — на втором. В записи решений уравнения с переменными х и у условимся на первом месте записывать значения х, а на втором — значения у.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение

5х + 2у = 12. (1)

Воспользовавшись свойствами уравнений, выразим из этого уравнения одну переменную через другую, например у через х. Для этого перенесём слагаемое 5х в правую часть уравнения, изменив его знак:

2 у = -5х + 12.

Разделим обе части этого уравнения на 2:

у = -2,5х + 6. (2)

Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Пользуясь формулой y = -2,5х + 6, можно найти сколько угодно решений уравнения (1). Для этого достаточно взять произвольное х и вычислить соответствующее ему значение у. Например:

    если х = 2, то у = -2,5 - 2 + 6 = 1;
    если х = 0,4, то у = -2,5 • 0,4 + 6 = 5.

Пары чисел (2; 1), (0,4; 5) — решения уравнения (1). Уравнение (1) имеет бесконечно много решений.

Иногда при решении задачи требуется найти все пары целых чисел или все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению с двумя переменными. В таких случаях говорят, что надо «решить уравнение в целых числах» или «решить уравнение в натуральных числах».

Проблема решения уравнений в натуральных числах подробно рассматривалась в работах известного греческого математика Диофанта (III в.). В его трактате «Арифметика» приводятся остроумные способы решения в натуральных числах самых разнообразных уравнений. В связи с этим уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями.

Рассмотрим задачу, в которой надо найти натуральные решения уравнения с двумя переменными.

Задача. Группу из 35 туристов решили расселить на теплоходе в трёхместные и четырёхместные каюты так, чтобы в каютах не оставалось свободных мест. Сколько трёхместных и сколько четырёхместных кают надо заказать?

Решение: Допустим, что надо заказать х трёхместных и у четырёхместных кают. Тогда

Зх + 4 у = 35.

Требуется найти все пары натуральных значений переменных х и у, удовлетворяющие этому уравнению.

Из уравнения Зх + 4у = 35 находим, что

Подставляя в это равенство вместо х последовательно числа 1, 2, 3 и т. д., найдём, при каких натуральных значениях х соответствующие значения у являются натуральными числами: если х = 1, то у = 8; если х = 5, то у = 5; если х = 9, то у = 2. Других пар натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению Зх + 4у = 35, нет, так как при других натуральных значениях х соответствующее значение у является либо дробным положительным числом, либо отрицательным числом.

Значит, надо заказать соответственно трёхместных и четырёхместных кают либо 1 и 8, либо 5 и 5, либо 9 и 2.

Упражнения

  1. Является ли уравнение с двумя переменными линейным:

  2. Является ли пара чисел решением уравнения х + у = 6? Укажите ещё два решения этого уравнения.
  3. Пары значений переменных х и у указаны в таблице:

    Какие из них являются решениями уравнения:

  1. Является ли решением уравнения 10х + у = 12 пара чисел (3; -20), (-2; 12), (0,1; 11), (1; 2), (2; 1)?
  2. Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пара чисел:

  3. Из линейного уравнения 4х - Зу = 12 выразите:

  4. Из уравнения 2u + v = 4 выразите:

    а) переменную v через u;
    б) переменную u через v.

  5. Выразите из данного уравнения переменную у через х; используя полученную формулу, найдите три каких-либо решения этого уравнения:

    а) Зх + 2у= 12;
    б) 5у - 2х = 1.

  6. а) Выразив из уравнения х - 6у = 4 переменную х через у, найдите три каких-либо решения этого уравнения.
    б) Выразив переменную у через переменную хУ найдите три каких-либо решения уравнения 3х - у = 10.
  7. Среди решений уравнения х + 2у = 18 найдите такую пару, которая составлена из двух одинаковых чисел.
  8. Найдите значение коэффициента а в уравнении ах + 2у = 8, если известно, что пара х = 2, у = 1 является решением этого уравнения.
  9. Из двухрублёвых и пятирублёвых монет составлена сумма в 28 р. Сколько было взято двухрублёвых монет?
  10. Ученик купил тетради по 5 р. и карандаши по 7 р. Сколько тетрадей купил ученик, если известно, что за всю покупку он заплатил 44 р.?
  11. Хозяйка купила глубокие и мелкие тарелки, уплатив за покупку 320 р. Глубокая тарелка стоит 35 р., а мелкая тарелка стоит 30 р. Сколько глубоких и сколько мелких тарелок купила хозяйка?

  12. Мука расфасована в пакеты но 3 кг и но 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получить 20 кг муки?
  13. (Для работы в парах.) Купили тетради в линейку по 10 р. за каждую и тетради в клетку по 15 р. за каждую, затратив на всю покупку 320 р.

    а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и тетрадей в клетку.
    б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.
    в) Найдите максимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.
    г) Найдите минимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.

    1) Выполните совместно задания а) и б).
    2) Распределите, кто выполняет задание в), а кто — задание г), и выполните их.
    3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

  14. В результате перестановки цифр двузначного числа оно увеличилось на 54. Найдите это число.
  15. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 1, а при делении на 6 — остаток 2.
  16. Найдите значение выражения:

  17. Разложите на множители:

Рейтинг@Mail.ru