Учебник для 7 класса

Алгебра

       

39. Возведение двучлена в степень

Вам известны формулы квадрата суммы и квадрата разности, куба суммы и куба разности. Так как разность а - b можно рассматривать как сумму а + (-b), то в каждом случае можно говорить не о двух формулах, а об одной — квадрате двучлена и кубе двучлена:

Нетрудно получить формулы для возведения двучлена в четвёртую, пятую и т. д. степень. Получить их молено последовательно одну за другой, умножая многочлен, записанный в правой части предшествующей формулы, на а + b. Например:

Умножепие выполним «в столбик»:

Итак,

Умножая правую часть этого равенства на а + b, получим формулу пятой степени двучлена:

Значит,

Для тот чтобы заметить закономерность в формуле n-й степени двучлена а + Ь при различных значениях n, выпишем их, начиная с n = 1 и заканчивая n - 5.

Рассматривая эти формулы, можно заметить, что в правой части каждой из них записан многочлен, содержащий n + 1 членов, где n — показатель степени двучлена.

Первый член многочлена равен аn, т. е. равен произведению аn и b0. Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени а уменьшается на 1, а показатель степени b увеличивается на 1, т. е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна n.

Сложнее обстоит дело с коэффициентами. Чтобы выявить закономерность в их образовании, выпишем по порядку в строку коэффициенты многочленов при n = 2, а затем при n = 3:

Во второй строке первый и последний коэффициенты равны 1. Нетрудно заметить, что второй коэффициент можно получить, сложив записанные над ним числа 1 и 2, третий — сложив записанные над ним числа 2 и 1.

По тому же правилу получаем строку для n = 4 из строки, записанной для n = 3:

Аналогичным образом из строки

можно получить строку, в которой выписаны коэффициенты многочлена, полученного при возведении двучлена а + b в пятую степень:

Подмеченную закономерность нетрудно обосновать, если проанализировать приведённые ранее примеры на умножение «в столбик» многочлена а3 + 3a2b + 3ab2 + b3 на двучлен а + b и многочлена а4 + 4а3n + 6а2n2 + 4аn3 + n4 на двучлен а + n.

Если добавить строку для n = 0 (нри а ≠ 0 или b ≠ 0), то коэффициенты всех строк можно расположить в виде треугольника:

В нём «боковые стороны» состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним. Этот треугольник называют треугольником Паскаля но имени известного французского учёного Блеза Паскаля (1623—1662) — математика, физика, философа и литератора, описавшего такой треугольник в своём знаменитом трактате «Об арифметическом треугольнике».

Продолжая запись по подмеченному правилу, мы можем получить строку коэффициентов для n = 6, 7, 8 и т. д. в формуле

Существует способ, позволяющий сразу найти коэффициенты многочлена для заданного п. Однако этот способ связан с понятиями, которые вам пока неизвестны.

Отметим ещё одну интересную закономерность в треугольнике Паскаля. Сумма коэффициентов при n = 0, n = 1, n = 2 и т. д. равна соответственно 20, 21, 22, 23 и т. д. Вообще в равенстве

сумма коэффициентов многочлена равна 2n. Убедиться в этом можно, подставив в это равенство а = 1 и b = 1.

Упражнения

  1. Напишите строки треугольника Паскаля для n = 6; n = 7.
  2. Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степепи двучлена а + b. Проверьте результат, умножив на а + b многочлен, равный (а + b)5.
  3. Напишите формулу:

    а) седьмой степени двучлена;
    б) восьмой степени двучлена.

  4. Используя формулу четвёртой степени двучлена, преобразуйте выражение:

    .

  5. Представьте в виде многочлена выражение:

  6. Представьте в виде многочлена выражение:

  7. Выражение (1 + y)3 + (1 + у)4 + (1 + у)5 заменили тождественно равным многочленом. Найдите коэффициент члена многочлена, содержащего: а) у2; б) у3.
  8. Какой остаток получится при делении числа 1476 на 145?
  9. Докажите, что значение выражения:

    а) 834 + 65 кратно 81;
    б) 14110 + 88 кратно 139.

Рейтинг@Mail.ru