Учебник для 7 класса

Алгебра

       

37. Преобразование целого выражения в многочлен

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, называют целыми выражениями (произведение одинаковых множителей в целом выражении может быть записано в виде степени). К целым относят и выражения, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на число, отличное от нуля.

Многочлены и, в частности, одночлены являются целыми выражениями. Например,

— целые выражения.

Примерами целых выражений служат такие выражения:

Выражение не является целым, так как в нём используется деление на выражение с переменной.

Выражение 10у3 + (3x + у)(х2 - 10у2) является суммой одночлена 10у3 и произведения многочленов Зх + у и х2 - 10у2. Выражение 2b(b2 - 10с2) - (b3 + 2с2) является разностью мелсду произведением одночлена 2b и многочлена b2 - 10c2 и многочленом b3 + 2с2. Мы знаем, что сумму, разность и произведение многочленов можно преобразовать в многочлен, поэтому каждое из этих целых выражений можно представить в виде многочлена.

Выражение отличается от рассмотренных тем, что в нём содержится деление на число, отличное от нуля. Если деление заменить умножением на число, обратное делителю, то получится выражение , которое, как и предыдущио выражения, составлено из многочленов с помощью действий сложения, вычитания, умножения. Поэтому это целое выражение также можно представить в виде многочлена.

Любое целое выражение можно представить в виде многочлена.

Пример 1. Представим в виде многочлена выражение

2 + 2)2 - (х - 2)(х + 2)(х2 + 4).

Решение: Имеем

4 + 4х2 + 4) - (х2 - 4)(х2 + 4) = х4 + 4х2 + 4 - X4 + 16 = 4х2 + 20.

Значит, данное выражение тождественно равно многочлену 4х2 + 20.

Преобразование целого выражения в многочлен используется при решении уравнений, доказательстве тождеств, в задачах на делимость и т. п.

Пример 2. Докажем, что ни при каком целом л значение выражения (n + 1)(n - 1) - (n - 6)(n + 2) не делится на 4.

Решение: Упростим данное выражение:

(n + 1)(n - 1) - (n - 6)(n + 2) = (n2 - 1) - (n2 - 6n + 2n - 12) =
= n2 - 1 - n2 + 6n - 2n + 12 = 4 n + 11.

Мы представили данное выражение в виде суммы 4n + 11. При любом целом л значение первого слагаемого делится на 4; второе слагаемое — число 11 — не делится на 4. Поэтому при любом целом л значение суммы 4n + 11, а значит, и значение исходного выражения (n + 1)(n - 1) - (n - 6)(n + 2) не делится на 4.

Упражнения

  1. Какие из выражений являются целыми?
  2. Представьте в виде многочлена:

    а) сумму многочлена x3 + 7x2 + 8 и произведения многочленов x2 - 6х + 4 и x - 1;
    б) разность произведения многочленов а2 + 7а - 4 и а - 3 и многочлена а3 + 4а2 - 29а +11.

  3. Преобразуйте в многочлен:

  4. Упростите выражение:

  5. Зная, что а = 2х - 5, b = 8х + 1, с = 4х - 2, представьте в виде многочлена с переменной х выражение ab - с2.
  6. Докажите, что ни при каком целом n значение выражения (2n + 1)(n + 5) - 2(n + 3)(n - 3) - (5n + 13) не делится на 6.
  7. (Для работы в парах.) Впишите вместо многоточия в выражение

    (n + 8)(n - 4) - (n + 3)(n - 2) + ...

    пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом п делится на 3.

    1) Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.
    2) Обсудите друг с другом, какому условию должно удовлетворять пропущенное число.
    3) Впишите вместо многоточия каждый какое-либо число, удовлетворяющее условию задачи.
    4) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.

  8. Решите уравнение:

  9. Решите уравнение:

  10. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

  11. Упростите выражение:

  12. Докажите тождество:

  13. Представьте данный трёхчлен, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:

  14. Разложите на множители:

  15. От деревни до станции велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно он возвращался со скоростью 10 км/ч. Найдите расстояние от деревни до станции, если известно, что на обратный путь велосипедист затратил на 1 ч больше, чем на путь от деревни до станции.
  16. Из пункта A связной доставил донесение в пункт В за 30 мин. На обратном пути он уменьшил скорость на 1 км/ч и затратил на дорогу 36 мин. Определите, с какой скоростью шёл связной из пункта А в пункт В.

Рейтинг@Mail.ru