Учебник для 7 класса

Алгебра

       

35. Разложение разности квадратов на множители

В тождестве (а - b)(а + b) = а2 - b2 поменяем местами правую и левую части. Получим

а2 - b2 = (а- b)(а + b).

Это тождество называют формулой разности квадратов. Её применяют для разложения на множители разности квадратов любых двух выражений:

разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Приведём примеры применения формулы разности квадратов.

Пример 1. Разложим на множители выражение 36 - а2.

Решение: Так как 36 = 62, то

36 - а2 = 62 - а2 = (6 - а) (6 + а).

Пример 2. Представим в виде произведения двучлен 49х2 - 16у6.

Решение: Данный двучлен можно представить в виде разности квадратов. Получим

49x2 - 16у6 = (7x)2 - (4у3)2 = (7х - 4у3)(7х + 4у3).

Упражнения

  1. Разложите на множители многочлен:

  2. Разложите на множители:

  3. Представьте в виде произведения:

  4. Вычислите:

  5. Найдите значение дроби:

  6. Найдите значение выражения:

  7. Разложите на множители:

  8. Решите уравнение:

  9. Решите уравнение:

  10. Представьте в виде произведения:

  11. Разложите на множители:

  12. Представьте выражение в виде произведения:

  13. Разложите на множители:

  14. Представьте в виде произведения:

  15. Представьте в виде произведения:

  16. а) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (4n + 5)2 - 9 делится на 4.
    б) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (n + 7)2 - n2 делится на 7. _
  17. На сторонах прямоугольника построены квадраты (рис. 73).

    Рис. 73

    Площадь одного квадрата на 95 см2 больше площади другого. Найдите периметр прямоугольника, если известно, что длина прямоугольника на 5 см больше его ширины.

  18. (Задача исследование.) Верно ли, что если р — простое число, большее трёх, то значение выражения р2 - 1 кратно 12.

    1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
    2) Разложите многочлен р2 - 1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
    3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
    4) Сделайте вывод.

  19. Представьте в виде куба одночлена выражение:

  20. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена или выражения, противоположного квадрату двучлена:

  21. Решите уравнение:

  22. Турист рассчитал, что если он будет идти к железнодорожной станции со скоростью 4 км/ч, то опоздает к поезду на полчаса, а если он будет идти со скоростью 5 км/ч, то придёт на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстояние должен пройти турист?

Рейтинг@Mail.ru