Учебник для 7 класса

Алгебра

       

34. Умножение разности двух выражений на их сумму

Рассмотрим ещё одну формулу сокращённого умножения. Умножим разность а - b на сумму а + b:

(а - b)(а + b) = а2 + ab - аb - b2 = а2 - b2.

Значит,

(а - b)(а + b) = а2 - b2. (1)

Тождество (1) позволяет сокращённо выполнять умножение разности любых двух выражений на их сумму:

произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Приведём примеры применения формулы (1).

Пример 1. Умножим разность Зх - 7у на сумму Зх + 7у.

Решение: Воспользовавшись тождеством (1), получим

(Зх - 7у)(3х + 7у) = (Зх)2 - (7y)2 = 9х2 - 49у2.

Пример 2. Представим в виде многочлена произведение

(5а2 - b3) (5а2 + b3).

Решение: Применив тождество (1), получим

(5а2 - b3) (5а2 + b3) = (5а2)2 - (b3)2 = 25а4 - b6.

Пример 3. Представим в виде многочлена произведение

(-2а - 9с) (2а - 9с).

Решение: Вынесем в выражении -2а - 9с за скобки -1, тогда

(-2а - 9с)(2а - 9с) = (-1)(2а + 9с) (2а - 9с) =
= -((2а)2 - (9с)2) = -(4а2 - 81с2) = -4а2 + 81с2.

Преобразование можно выполнить иначе:

(-9с - 2а) (-9с + 2а) = (-9с)2 - (2а)2 = 81с2 - 4а2.

Пример 4. Упростим выражение 6,5х2 - (2х + 0,8)(2х - 0,8).

Решение: Имеем

6,5х2 - (2х + 0,8)(2х - 0,8) = 6,5х2 - (4х2 - 0,64) =
= 6,5х2 - 4х2 + 0,64 = 2,5х2 + 0,64.

Упражнения

  1. Выполните умножение многочленов:

  2. Выполните умножение:

  3. С помощью рисунка 72 разъясните геометрический смысл формулы (а - b)(а + b) = а2 - b2 для положительных а и b, удовлетворяющих условию а > b.

    Рис. 72

  4. Представьте в виде многочлена произведение:

  5. Впишите вместо знака * одночлен так, чтобы получилось тождество:

  6. Представьте в виде многочлена:

  7. Найдите значение выражения:

  8. Найдите значение произведения:

  9. Представьте выражение в виде многочлена, используя соответствующую формулу сокращённого умножения:

  10. Представьте в виде многочлена:

  11. Выполните умножение:

  12. Найдите наибольшее значение выражения:

  13. Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если такое значение существует:

  14. Представьте в виде многочлена:

  15. Представьте выражение в виде многочлена:

  16. Выполните умножение:

  17. Упростите выражение:

    871. Упростите:

  18. Докажите, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.
  19. Упростите выражение:

  20. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.

    1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
    2) Составьте выражение, обозначив через р одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через р наименьшее из чисел, а другому — среднее из чисел.
    3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.

  21. Упростите выражение:

  22. Решите уравнение:

  23. Найдите корень уравнения:

  24. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

  25. Докажите тождество:

  26. Разложите на множители:

  27. Решите уравнение:

  28. Со станций М и N, расстояние между которыми 380 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость поезда, отправившегося со станции N, была больше скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч после отправления поездам оставалось пройти до встречи 30 км. Найдите скорость поездов.

Рейтинг@Mail.ru