Учебник для 7 класса

Алгебра

       

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Формулы квадрата суммы и квадрата разности находят применение не только для возведения в квадрат суммы и разности, но и для разложения на множители выражений вида а2 + 2аb + b2 и а2 - 2ab + b2.

Действительно, поменяв местами в этих формулах левую и правую части, получим

а2 + 2аb + b2 = (а + b)2;
а2 - 2аb + b2 = (а - b)2.

Приведённые равенства показывают, что трёхчлен а2 + 2аb + b2 можно представить в виде произведения (a + b)(a + b), а трёхчлен а2 - 2ab + b2 можно представить в виде произведений (а - b)(а - b).

Пример 1. Представим трёхчлен 9х2 + 30x + 25 в виде квадрата двучлена.

Решение: Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения Зx, третье — квадрат числа 5. Так как второе слагаемое равно удвоенному произведению Зх и 5, то этот трёхчлен можно представить в виде квадрата суммы Зх и 5:

2 + З0х + 25 = (Зх)2 + 2 • Зх • 5 + 52 = (Зх + 5)2.

Пример 2. Разложим на множители трёхчлен а2 - 20аb2 + 100b4.

Решение: Здесь можно применить формулу квадрата разности:

а2 - 20аb2 + 100b4 = а2 - 2 • а • 10b2 + (10b2)2 =
= (а - 10b2)2 = (а - 10b2)(а - 10b2).

Упражнения

  1. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

  2. Представьте трёхчлен в виде произведения двух одинаковых множителей:

  3. Преобразуйте трёхчлен в квадрат двучлена:

  4. Поставьте вместо знака * такой одночлен, чтобы трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена:

  5. Впишите вместо знака * недостающие одночлены так, чтобы получилось тождество:

  6. Замените знак * таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

  7. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:

  8. Найдите значение выражения:

  9. Верно ли, что при любых значениях х:

  10. Сравните с нулём значение выражения:

  11. Поставьте вместо многоточия какой-либо из знаков ≥ или ≤ так, чтобы получившееся неравенство было верно при любом значении х:

  12. Представьте выражение в виде квадрата двучлена, если это возможно:

  13. Преобразуйте выражение в квадрат двучлена:

  14. Разложите на множители трёхчлен:

  15. Докажите, что при любом значении х многочлен х2 + 6х + 10 принимает положительные значения.
  16. Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:

  17. Прочитайте выражение:

  18. Запишите в виде выражения:

    а) квадрат суммы За и b;
    б) сумму квадратов 0,5m и 5,3n;
    в) произведение 0,6х2 и 9у2.

  19. Представьте в виде многочлена:

  20. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

  21. Преобразуйте в многочлен выражение: а) (3 + а)3; б) (х - 2)3.

Контрольные вопросы и задания

  1. Напишите формулу квадрата суммы. Проведите доказательство.
  2. Напишите формулу квадрата разности. Проведите доказательство.
  3. Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата суммы.
  4. Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата разности.
  5. Напишите формулу куба суммы. Возведите в куб двучлен а + 2b.
  6. Напишите формулу куба разности. Возведите в куб двучлен Зх - у.

Рейтинг@Mail.ru