Учебник для 7 класса

Алгебра

       

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений

При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого. Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращённого умножения.

Возведём в квадрат сумму а + b. Для этого представим выражение (а + b)2 в виде произведения (а + b)(а + b) и выполним умножение:

(а + b)2 = (а + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 =
= а2 + 2 ab + b2.

Значит,

(а + b)2 = а2 + 2 аb + b2. (1)

Тождество (1) называют формулой квадрата суммы. Эта формула позволяет проще выполнять возведение в квадрат суммы любых двух выражений:

квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

В «Началах» Евклида справедливость равенства

(а + b)2 = а2 + 2 ab + b2

при положительных значениях а и b доказана геометрически с помощью чертежа, приведённого на рисунке 70.

Рис. 70

Возведём в квадрат разность а - b, получим

(а - b)2 = (а - b)(a - b) = а2 - ab - ab + b2 = -а2 - 2 ab + b2.

Значит,

(а - b)2 = а2 - 2ab + b2. (2)

Тождество (2) называют формулой квадрата разности. Она позволяет проще возводить в квадрат разность любых двух выражений:

квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Заметим, что тождество (2) можно получить из тождества (1), если представить разность а - b в виде суммы а + (-b):

(а - b)2 = (а + (-b))2 = а2 + 2а(-b) + (-b)2 = а2 - 2аb + b2.

Приведём примеры применения формул квадрата суммы и квадрата разности.

Пример 1. Возведём в квадрат сумму 8x + 3.

Решение: По формуле квадрата суммы получим

(8х + З)2 = (8х)2 + 2 • 8х • 3 + З2 = 64x2 + 48x + 9.

Пример 2. Возведём в квадрат разность 10х - у.

Решение:Воспользовавшись тождеством (2), получим

(10x - у)2 = (10х)2 - 2 • 10х • у + у2 = 100х2 - 20ху + у2.

Пример 3. Представим в виде многочлена выражение (-5а - 4)2.

Решение: Выражение (-5а - 4)2 тождественно равно выражению (5а + 4)2. Действительно, при любом а значениями выражений -5а - 4 и 5а + 4 являются противоположные числа, а квадраты противоположных чисел равны. Получаем

(-5а - 4)2 = (5а + 4)2 = 25а2 + 40а + 16.

Пример 4. Упростим выражение 2х(3 + 8x) - (4х - 0,5)2.

Решение:

2x(3 + 8x) - (4х - 0,5)2 = 6х + 16х2 - (16x2 - 4х + 0,25) =
= 6x + 16х2 - 16x2 + 4х - 0,25 = 10х - 0,25.

Зная формулы квадрата суммы и квадрата разности, нетрудно вывести формулы куба суммы и куба разности. Имеем

(а + b)2 = (а + b)2(а + b) = (а2 + 2аb + b2)(а + b) =
= а3 + 2 a2b + ab2 + а2b + 2аb2 + b3 = а3 + 3 а2b + Заb2 + b2.

Следовательно,

(а + b)3 = а3 + 3 а2b + 3ab2 + Ь3. (3)

Тождество (3) называют формулой куба суммы.

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.

Аналогично можно получить, что

(а - b)3 = а3 - 3a2b + 3ab2 - b3. (4)

Тождество (4) называют формулой куба разности.

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго минус куб второго выражения.

Заметим, что тождество (4) можно получить из тождества (3), если разность а - b представить в виде суммы а + (-b).

Пример 5. Возведём в куб сумму 2х + 3.

Решение: Имеем

(2х + З)3 = (2х)3 + 3 (2x)2 • 3 + 3 • 2х • З2 + З3 =
= 8х3 + 36х2 + 54х + 27.

Пример 6. Возведём в куб разность Зх - 5.

Решение: Имеем

(Зх - 5)2 = (Зх)3 - 3 (Зх)2 • 5 + 3 • Зх • 52 - 53 =
= 27х3 - 135х2 + 225х - 125.

Упражнения

  1. Представьте в виде многочлена:

  2. Преобразуйте в многочлен:

  3. С помощью рисунка 71 разъясните геометрический смысл формулы (а - b)2 = а2 - 2аЬ + b2 для положительных а и b, удовлетворяющих условию а > b.

    Рис. 71

  4. Проверьте, что равенство

    верно при n = 3. Покажите, что это равенство верно при любом n.

  5. Преобразуйте выражение в многочлен:

  6. Преобразуйте в многочлен:

  7. Преобразуйте в многочлен:

  8. Из выражений (у - х)2, (у + х)2, (-у + х)2, (-х + у)2, (-х - у)2 выберитете, которые тождественно равны выражению:

  9. Докажите тождество:

  10. Представьте в виде многочлена квадрат двучлена:

  11. Преобразуйте в многочлен:

  12. Используя формулу квадрата суммы или формулу квадрата разности, вычислите:

  13. Выполните возведение в квадрат:

  14. Преобразуйте в многочлен:

  15. Представьте в виде многочлена:

  16. Замените знак * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

  17. Упростите выражение:

  18. Представьте в виде многочлена:

  19. Упростите выражение:

  20. Упростите выражение и найдите его значение:

  21. Решите уравнение:

  22. Найдите корень уравнения:

  23. Представьте в виде многочлена выражение:

  24. Преобразуйте в многочлен выражение:

  25. Представьте в виде многочлена:

  26. Докажите тождество:

  27. Докажите тождество Диофанта (111 в.):

  28. При каком значении х:

    а) квадрат двучлена х + 1 на 120 больше квадрата двучлена х - 3;
    б) квадрат двучлена 2х + 10 в 4 раза больше квадрата двучлена х - 5?

  29. Пользуясь формулой куба суммы, преобразуйте в многочлен выражение:

  30. Пользуясь формулой куба разности, преобразуйте в многочлен выражение:

  31. Упростите выражение:

  32. Запишите в виде выражения:

    а) разность квадратов 2m и 7n;
    б) квадрат разности х и 8у;
    в) утроенное произведение 6а и b2;
    г) произведение суммы а и b и их разности.

  33. Разложите на множители многочлен а3 + 2а + а2 + 2.
  34. Из пунктов А и Б, расстояние между которыми 1020 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда, причём скорость одного была на 10 км/ч больше скорости другого. Через 5 ч поезда, ещё не встретившись, находились на расстоянии 170 км друг от друга. Найдите скорости поездов.

Рейтинг@Mail.ru