Учебник для 7 класса

Алгебра

       

Дополнительные упражнения к главе IV

К параграфу 9

  1. Найдутся ли такие целые значения х, при которых значение многочлена:

    а) 2х2 + 6х + 3 окажется чётным числом;
    б) х2 + х + 2 окажется нечётным числом?

  2. Расположите члены многочлена 3ах2 - 6а3х + 8а2 - х3:

    а) по возрастающим степеням переменной х;
    б) по убывающим степеням переменной а.

  1. Представьте в виде многочлена:

  2. Упростите выражение:

  3. Докажите, что выражение А + В - С тождественно равно выражению С - В - А, если А = 2х - 1, В = Зх + 1 и С = 5x.
  4. Какой многочлен нужно вычесть из многочлена у2 - bу + 1, чтобы разность была тождественно равна:

    а) 0;
    б) 5;
    в) у2,
    г) 4у2 - у + 7?

  5. Докажите, что при любом значении х разность многочленов

    принимает положительное значение.

  6. Докажите, что при любом значении а сумма многочленов

    принимает отрицательное значение.

  7. Запись означает число, в котором а сотен, b десятков и с единиц. Это число можно представить в виде многочлена - 100а + 10b + с.

    Например, 845 = 100 • 8 + 10 • 4 + 5.

    Представьте в_виде многочлена число:

  8. Представьте в виде многочлена и упростите получившуюся сумму или разность:

  9. Докажите, что: _

    а) сумма чисел и кратна сумме а и Ь;
    б) разность чисел и кратна 9.

  10. Решите уравнение:

  11. Найдите четыре числа, пропорциональные числам 2, 4, 5 и 6, если разность между суммой двух последних и суммой двух первых чисел равна 4,8.
  12. Если к задуманному числу приписать справа нуль и результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число. Какое число было задумано?
  13. Если к данному числу приписать справа цифру 9 и к полученному числу прибавить удвоенное данное число, то сумма будет равна 633. Найдите данное число.
  14. К трёхзначному числу слева приписали цифру 5 и из полученного четырёхзначного числа вычли 3032. Получилась разность, которая больше трёхзначного числа в 9 раз. Найдите это трёхзначное число.
  15. Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру переставить на первое место, то число увеличится на 324. Найдите это трёхзначное число.

К параграфу 10

  1. Преобразуйте произведение в многочлен:

  2. Упростите выражение:

  3. Докажите, что при любых значениях переменной значение выражения:

    а) 3(х2 - х + 1) - 0,5х(4х - 6) является положительным числом;
    б) у(2 + у - у3) - (6 + Зу + 1,5у2) является отрицательным числом.

  4. Решите уравнение:

  5. Два сосуда были наполнены растворами соли, причём во втором сосуде содержалось на 2 кг больше раствора, чем в нервом. Концентрация соли в первом растворе составляла 10%, а во втором — 30%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация соли в котором оказалась равной 25%. Сколько раствора было в первом сосуде первоначально?
  6. В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая — 200 кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?
  7. Расстояние между пристанями М и N равно 162 км. От пристани М отошёл теплоход со скоростью 45 км/ч. Через 45 мин от пристани N навстречу ему отошёл другой теплоход, скорость которого 36 км/ч. Через сколько часов после отправления первого теплохода они встретятся?
  8. От пристани А отошёл теплоход со скоростью 40 км/ч. Через 1 ч вслед за ним отошёл другой теплоход со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после своего отправления и на каком расстоянии от А второй теплоход догонит первый?
  9. Из города А в город В одновременно отправляются два автобуса. Скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого. Через З ч один автобус пришёл в B, а другой находился от В на расстоянии, равном расстояния между А и В. Найдите скорости автобусов и расстояние от А до В.
  10. Из A в В одновременно выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого. Мотоциклист, который первым прибыл в В, сразу же отправился обратно. Другого мотоциклиста он встретил через 2 ч 24 мин после выезда из А. Расстояние между А и В равно 120 км. Найдите скорости мотоциклистов и расстояние от места встречи до В.
  11. За 4 ч катер проходит по течению расстояние, в 2,4 раза большее, чем за 2 ч против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 1,5 км/ч?
  12. За 6 ч катер проходит по течению на 20 км меньше, чем за 10 ч против течения. Какова скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 15 км/ч?
  13. Кооператив наметил изготовить партию мужских сорочек за 8 дней. Выпуская в день на 10 сорочек больше, чем предполагалось, он выполнил план за один день до срока. Сколько сорочек в день должен был выпускать кооператив?
  14. На элеватор поступило 1400 т пшеницы двух сортов. При обработке пшеницы одного сорта оказалось 2% отходов, а другого сорта — 3% отходов. Чистой пшеницы получилось 1364 т. Сколько пшеницы каждого сорта поступило на элеватор?
  15. Бригада предполагала убирать 80 га пшеницы в день, чтобы закончить работу в намеченный ею срок. Фактически в день она убирала на 10 га больше, и поэтому за один день до срока ей осталось убрать 30 га. Сколько гектаров пшеницы должна была убрать бригада?
  16. В водный раствор соли массой 480 г добавили 20 г соли. В результате концентрация раствора повысилась на 3,75%. Сколько соли было в растворе первоначально?
  17. Разложите на множители:

  18. Докажите, что:

  19. Разложите на множители:

  20. Найдите значение выражения:

  21. Решите уравнение:

  22. Вынесите за скобки числовой множитель:

  23. Докажите, что значение выражения а2 - а кратно 2 при любом целом а.
  24. Докажите, что если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет чётным числом.
  25. Докажите, что разность чисел и , где а ≠ 0, с ≠ 0, кратна 11.
  26. Докажите, что:

    а) сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14;
    б) сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.

К параграфу 11

  1. Докажите, что выражение тождественно равно некоторому двучлену:

  2. Упростите:

  3. Докажите, что выражение (у + 8)(y - 7) - 4(0,25y - 16) при любом значении у принимает положительные значения.
  4. Докажите, что значение выражения:

  5. Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменных:

  6. Докажите, что значения выражения не зависят от значения переменной:

  7. Докажите, что:

    а) сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5;
    б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

  8. Найдите четыре последовательных натуральных числа, если известно, что произведение первых двух из этих чисел на 38 меньше произведения двух следующих.
  9. Докажите, что:

    а) произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел;
    б) квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.

  10. Сторона квадрата на 2 см больше одной из сторон прямоугольника и на 5 см меньше другой. Найдите площадь квадрата, если известно, что она на 50 см2 меньше площади прямоугольника.
  11. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат, площадь которого больше площади прямоугольника на 40 см2. Найдите площадь прямоугольника.
  12. Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то его площадь увеличится на 30 м2. Определите площадь первоначального прямоугольника.
  13. Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 см2. Найдите площадь первоначального прямоугольника.
  14. Найдите значение выражения:

  15. Разложите на множители многочлен:

  16. Представьте в виде произведения:

  17. Разложите на множители многочлен:

  18. Докажите, что:

  19. Докажите тождество:

  20. При каком значении а произведение

    3 + 4х2 - 17х + 41)(х + а)

    тождественно равно многочлену, не содержащему х3?

  21. Докажите, что если b + с = 10, то

    (10а + b) (10а + с) = 100а (а + 1) + bс.

    Воспользовавшись этой формулой, вычислите:

    а) 23 • 27; б) 42 • 48; в) 59 • 51; г) 84 • 86.

  22. Докажите, что:

    а) если ab + с2 = 0, то (а + с)(b + с) + (а - с)(b - с) = 0;
    б) если а + b = 9, то (а + 1)(b + 1) - (а - 1)(b - 1) = 18.

Рейтинг@Mail.ru