Учебник для 7 класса

Алгебра

       

26. Сложение и вычитание многочленов

Сложим многочлены 5х2 + 7х - 9 и -Зх2 - 6х + 8.

Для этого составим их сумму, затем раскроем скобки и приведём в полученном многочлене подобные члены:

Вычтем из многочлена х3 + 5х2 - х + 8 многочлен х3 - 7х - 1.

Для этого составим их разность, раскроем скобки и приведём в полученном многочлене подобные члены:

Мы представили сумму многочленов 5х2 + 7х - 9 и -Зx2 - 6х + 8 в виде многочлена 2х2 + х - 1, а разность многочленов х3 + 5х2 - х + 8 и х3 - 7х - 1 в виде многочлена 5х2 + 6х + 9.

Вообще сумму и разность многочленов всегда можно представить в виде многочлена.

Иногда требуется решить обратную задачу — представить многочлен в виде суммы или разности многочленов. При этом пользуются правилом:

если перед скобками ставится знак «плюс», то члены, которые заключают в скобки, записывают с теми же знаками; если перед скобками ставится знак «минус», то знаки членов, заключаемых в скобки, меняют на противоположные.

Например:

Упражнения

  1. а) Составьте сумму многочленов 4х3 - 5х - 7 и х3 - 8х и преобразуйте её в многочлен стандартного вида.
    б) Составьте разность многочленов 5у2 - 9 и 7у2 - у + 5 и преобразуйте её в многочлен стандартного вида.
  2. Даны два многочлена: 2а3 - 5а + 5 и а3 - 4а - 2. Упростите:

    а) сумму этих многочленов;
    б) разность первого и второго многочленов;
    в) разность второго и первого многочленов.

  3. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

  4. Упростите выражение:

  5. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

  6. Найдите сумму и разность многочленов:

    а) а + b и а - b;
    б) а - b и а + b;
    в) -а - b и а - b;
    г) а - b и b - а.

  7. Докажите, что:

    а) сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4;
    б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

  8. Докажите, что выражение:

    а) (х - у) + (у - z) + (z - х) тождественно равно 0;
    б) (а2 - 5аb) - (7 - Заb) + (2аb - а2) тождественно равно -7.

  9. Найдите многочлен, после подстановки которого вместо М следующее равенство окажется тождеством:

  10. Какой многочлен в сумме с многочленом 5х2 - Зх - 9 тождественно равен:

  11. Упростите выражение:

  12. Упростите выражение:

  13. Найдите значение выражения

  14. Вычислите значение выражения 5х2 - (3ху - 7х2) + (5ху - 12х2), если:

  15. Докажите, что при любом значении х разность многочленов

    принимает положительное значение.

  16. (Для работы в парах.) Учащимся была предложена задача: «Найдите значение выражения

    при а = -0,25».

    Один из учеников сказал, что в задаче не хватает данных. Прав ли он?

    1) Обсудите друг с другом, в каком случае ученик окажется прав.
    2) Выполните преобразования.
    3) Сделайте вывод.

  17. Какой двучлен нужно сложить с многочленом х2 + у2 - 2ху + 1, чтобы в результате получился многочлен:

    а) не содержащий переменную х;
    б) не содержащий переменную у?

  18. Докажите, что не зависит от х значение выражения

  19. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

    а) 1,7 - 10b2 - (1 - 3b2) + (2,3 + 7b2);
    б) 1 - b2 - (3b - 2b2) + (1 + 3b - b2).

  20. Пусть х = 5а2 + баb - b2, у = -4а2 + 2аb + 3b2, z = 9а2 + 4аb. Подставьте эти многочлены вместо х, у и z в данное выражение и упростите его:

    а) х + у + z;
    б) х - у - z.

  21. Решите уравнение:

  22. Решите уравнение:

  23. Представьте выражение в виде суммы каких-нибудь двучленов:

  24. Представьте выражение каким-либо способом в виде разности одночлена и трёхчлена:

  25. Известно, что при некоторых натуральных значениях п значение выражения n3 + n кратно 30. Будет ли кратно 30 при тех же значениях п значение выражения:

  26. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма:

    а) трёх последовательных натуральных чисел кратна 3;
    б) четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.

    1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
    2) Проверьте друг у друга правильность выполнения преобразований.
    3) Выскажите аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверьте, верно ли оно.

  27. (Задача исследование.) В «Арифметике» Магницкого, написанной в начале XVIII в., предлагается такой способ угадывания задуманного двузначного числа: «Если кто задумал двузначное число, то скажи ему, чтобы он увеличил число десятков в 2 раза и к произведению прибавил 5 единиц; затем полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил 10 единиц и число единиц задуманного числа, а результат произведённых действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число».

    1) Выберите двузначное число и проверьте предложенный способ угадывания задуманного числа.
    2) Предложите соседу но парте задумать двузначное число, выполнить указанные в условии задачи действия и сообщить результат.
    3) Найдите число, задуманное соседом.
    4) Докажите справедливость способа отгадывания задуманного двузначного числа, предложенного в учебнике Магницкого.

  28. Представьте выражение в виде одночлена:

  29. С помощью калькулятора найдите значение выражения х2 - у, если х = 1,4, у = 0,157.

Контрольные вопросы и задания

  1. Дайте определение многочлена.
  2. На примере многочлена 5а2х + ах2 - 4ах • х объясните, как привести многочлен к стандартному виду.
  3. Что называется степенью многочлена? Приведите пример многочлена третьей степени.
  4. Составьте сумму и разность многочленов х2 - Зу + 6 и -х2 + 3y+1 и преобразуйте каждое выражение в многочлен стандартного вида.
  5. В многочлене 5х2 - х + 4 заключите в скобки два последних члена, поставив перед скобками: а) знак «плюс»; б) знак «минус».

Рейтинг@Mail.ru