Учебник для 7 класса

Алгебра

       

25. Многочлен и его стандартный вид

Выражение 4х2у - 5ху + Зх - 1 представляет собой сумму одночленов 4х2у, -5xy, Зх и -1. Такие выражения называют многочле нами.

Определение: Многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют члена ми многочлена. Так, членами многочлена 4х2у - 5ху + Зх - 1 являются одночлены 4х2у, -5ху, Зх и -1.

Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом; если из трёх членов — трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.

В многочлене 5а2b + 2 + 4аb2 - 3а2b - 7 члены 5а2b и -3а2b являются подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми являются и члены 2 и -7, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением подобных членов многочлена.

Пример 1. Приведём подобные члены в многочлене

2b + 2 + 4аb2 - За2b - 7.

Решение: Имеем

2b + 2 + 4ab2 - 3а2b - 7 = (5а2b - 3a2b) + 4аb2 + (2 - 7) =
= 2а2b + 4аb2 - 5.

Каждый член многочлена 2а2b + 4аb2 - 5 является одночленом стандартного вида, и этот многочлен не содержит подобных членов. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные члены.

Членами многочлена стандартного вида 8ху + 6х2у3 - 9 служат одночлены второй, пятой и нулевой степеней. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, многочлен 8ху + 6х2у3 - 9 является многочленом пятой степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Пример 2. Определим степень многочлена За4 + 8ab - 2а4 - а4 + 5b.

Решение: Для этого приведём его к стандартному виду:

За4 + 8ab - 2а4 - а4 + 5b = 2a4 + 5b.

Степень многочлена 8ab + 5b равна двум, поэтому степень многочлена За4 + 8ab - 2а4 - а4 + 5b также равна двум.

Упражнения

  1. Назовите каждый член многочлена:

  2. Приведите подобные члены многочлена:

  3. Из данных многочленов выберите многочлен, тождественно равный выражению За2 + 6.2

  4. Представьте в стандартном виде многочлен:

  5. Запишите в стандартном виде многочлен:

  6. Найдите значение многочлена:

  7. Найдите значение многочлена:

  8. Найдите значение многочлена 2х2 + 1 при х = 0; -2; 3; -4. Существует ли такое значение х, при котором значение многочлена равно нулю? отрицательно?
  9. Докажите, что многочлен х2 + у2 + 1 при любых значениях х и у принимает положительные значения.
  10. Запишите в виде многочлена число, состоящее из:

    а) а десятков и 6 единиц;
    б) а сотен, 6 десятков и с единиц.

  11. Расположите члены многочлена по убывающим степеням переменной:

  12. Расположите члены многочлена по возрастающим степеням переменной:

  13. Какова степень многочлена:

  14. Используя калькулятор, найдите значение многочлена:

  15. (Задача исследование.) Докажите, что всякая разность вида abbb - а делится на 37.

    1) Проверьте верность этого утверждения для разности:

    а) 2555 - 2;
    б) 7111-7;
    в) 8999 - 8;
    г) 9666 - 9.

    2) Проведите доказательство высказанного утверждения.

  16. Решите уравнение:

  17. Вычислите:

  18. При каком значении аргумента функция у = 0,01x принимает значение, равное:

    а) 240;
    б) -100?

Рейтинг@Mail.ru