Учебник для 7 класса

Алгебра

       

23. Функции у = х2 и у = х3 и их графики

Зависимость площади квадрата от его стороны и зависимость объёма куба от его ребра являются примерами функций, которые задаются формулами вида у = х2 и у = x3.

Построим график функции у = х2. Составим таблицу соответственных значений х и у:

Построим точки, координаты которых указаны в таблице (рис. 60).

Рис. 60

Чтобы точнее построить график вблизи начала координат, вычислим ещё несколько значений функции:

Из таблицы видно, что при значениях х близких к нулю значения функции мало отличаются от нуля. Значит, график функции вблизи начала координат почти сливается с осью х.

Через отмеченные точки проведём плавную линию (рис. 61).

Рис. 61

Получим график функции у = х2.

Ясно, что график функции у = х2 неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси у.

График функции у = х2 называют параболой.

Выясним некоторые свойства функции у = х2.

1. Если х = 0, то у = 0. Поэтому график функции проходит через начало координат.

2. Если х ≠ 0, то у > 0. Действительно, квадрат любого числа, отличного от нуля, положителен. Значит, все точки графика функции, кроме точки (0; 0), расположены выше оси х.

3. Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у. Это следует из того, что (-х) = х2 при любом х. «Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси у.

Построим теперь график функции у = х3. Составим таблицу соответственных значений х и у, округляя значение у до сотых:

Построим точки, координаты которых указаны в таблице (рис. 62).

Рис. 62

Через отмеченные точки проведём плавную линию (рис. 63).

Рис. 63

Получим график функции у = х3. Ясно, что этот график неограниченно продолжается справа от оси у вверх и слева от оси у вниз.

Заметим, что вблизи начала координат график функции почти сливается с осью х (если х = 0,2, то у = 0,008; если х = 0,3, то У = 0,027).

Выясним некоторые свойства функции у = х3.

1. Если х = 0, то у — 0. Поэтому график функции проходит через начало координат.

2. Если х > 0, то у > 0; если х < 0, то у < 0. Действительно, куб положительного числа есть число положительное, а куб отрицательного числа есть число отрицательное. Значит, график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

3. Противоположным значениям х соответствуют противоположные значения у. Это следует из того, что при любом значении х верно равенство (-х)3 = -х3. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, расположены симметрично относительно начала координат.

С помощью графиков функций у = х2 и у = х3 можно найти приближённые значения корней некоторых уравнений. Приведём примеры.

Пример 1. Решим уравнение х2 = х + 1.

Решение: Построим в одной системе координат графики функций у = х2 и у = х + 1 (рис. 64).

Рис. 64

Эти графики пересекаются в двух точках. Абсциссы точек пересечения графиков являются теми значениями переменной х, при которых выражения х2 и х + 1 принимают равные значения. Значит, абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения х2 = х + 1. Из рисунка видно, что это уравнение имеет корни

х1 ≈ -0,6, х2 ≈ 1,6.

Пример 2. Решим уравнение х3 = Зх.

Решение: Построим в одной координатной плоскости графики функций у = х3 и у = Зх (рис. 65).

Рис. 65

Графики этих функций пересекаются в трёх точках. Уравнение х3 = Зх имеет три корня: - 1,7, 0 и 1,7. Заметим, что число 0 является точным значением корня, а числа -1,7 и 1,7 — приближёнными.

Итак, мы нашли, что

x1 ≈ -1,7, х2 = 0, х3 ≈ 1,7.

Применённый нами способ решения уравнений называется графическим.

Упражнения

  1. Используя график функции у = х2, изображённый на рисунке 61, найдите:

    а) значения у, соответствующие х = 0,75; -1,25; 1,25; -2,2; 2,2;
    б) значения х, которым соответствует у = 3; 5.

  2. Пользуясь графиком функции у = х2 (см. рис. 61), найдите:

    а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 1,4; -2,6; 3,1;
    б) значения аргумента, при которых значение функции равно 4; 6;
    в) несколько значений х, при которых значения функции меньше 4; больше 4.

  3. Воспользовавшись графиком функции у = х2, изображённым на рисунке 61, найдите:

    а) значение у, соответствующее х = -2,4; -0,7; 0,7; 2,4;
    б) значения х, которым соответствует у = 2; 0,9;
    в) несколько значений х, при которых значение функции больше 2; меньше 2.

  4. Принадлежит ли графику функции у = х2 точка:

    а) A(6; 36);
    б) В(-1,5; 2,25);
    в) С(4;-2);
    г) D(1,2; 1,44)?

  5. Используя график функции у = х3 (см. рис. 63), найдите:

    а) значение уу соответствующее х= 1,4; -1,4; -1,8; 1,8;
    б) значение х, которому соответствует у = -4; 4.

  6. Пользуясь графиком функции у = х3 (см. рис. 63), найдите:

    а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному -0,7; 1,2;
    б) значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное 3; -3;
    в) несколько значений аргумента, при которых значение функции больше -3, но меньше 3.

  7. Принадлежит ли графику функции у = x3 точка:

  8. В одной и той же системе координат постройте графики функций у = х2 и у = х3, где х > 0. Пользуясь построенными графиками, сравните:

    а) 0,62 и 0,63;
    б) 1,52 и 1,53;
    в) 2,72 и 2,73.

  9. При каких значениях а точка P(а; 64) принадлежит графику функции:

    а) у = х2;
    б) у = х3?

  10. (Для работы в парах.) Используя график функции у = х2, изображённый на рисунке 61, решите уравнение:

    а) х2 = 4;
    б) х2 = -1;
    в) х2 = 5;
    г) х2 = 0.

    1) Распределите, кто выполняет задания а), б), а кто — задания в), г), и выполните их.
    2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.
    3) Сделайте вывод о числе корней уравнения х2 = а при различных значениях а.

  11. Решите графически уравнение:

    а) х3 = х + 6;
    б) х3 + 2х - 3 = 0.

  12. (Для работы в парах.) Используя график функции у = х3, изображённый на рисунке 63, решите уравнение:

    а) х3 = 8;
    б) х3 = -1;
    в) х3 = 5;
    г) х3 = 0.

    1) Распределите, кто выполняет задания а), г), а кто — задания б), в), и выполните их.
    2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.
    3) Сделайте вывод о числе корней уравнения х3 = а при различных значениях а.

  13. Решите графически уравнение:

    а) х3 = 4х;
    б) х3 = -х + 3.

  14. Сравните значения выражений:

  15. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций у = 8,5х и у = 0,5х - 19,2.
  16. Упростите выражение:

Контрольные вопросы и задания

  1. Приведите пример одночлена стандартного вида.
  2. Представьте в стандартном виде одночлен 5аb2 • (-За4b) и укажите его коэффициент.
  3. Сформулируйте определение степени одночлена. Приведите пример одночлена пятой степени.
  4. Сформулируйте свойства функции у = х2. Как отражаются эти свойства на графике функции у = х2?
  5. Сформулируйте свойства функции у = х3. Как отражаются эти свойства на графике функции у = х3?

Рейтинг@Mail.ru