Учебник для 7 класса

Алгебра

       

20. Возведение в степень произведения и степени

Выражение (аb)4 является степенью произведения множителей а и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней а и b:

(ab)4 = ab • ab • ab • ab = (aaaa) • (bbbb) = a4b4.

Значит,

(ab)4 = a4b4.

Аналогичным свойством обладает любая натуральная степень произведения двух множителей.

Для любых а и b и произвольного натурального числа п
(аЬ)n = аnbn.

По определению степени

Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим

Воспользовавшись определением степени, находим

Следовательно,

Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трёх и более множителей.

Например:

Отсюда получается правило:

чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Пример 1. Возведём произведение 2yz в пятую степень.

Решение: Имеем (2yz)5 = 25y5z5 = 32y5z5.

Выражение (а5)3 есть степень, основание которой само является степенью. Это выражение можно представить в виде степени с основанием а:

5)3 = а5а5а5 = а5+5+5 = а5•3.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n
m)n = аmn.

По определению степени

Согласно основному свойству степени

Заменим сумму произведением mn.

Тогда получим

Следовательно,

Из доказанного свойства степени следует правило:

при возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

Пример 2. Представим выражение (а4)3 в виде степени с основанием а.

Решение: Имеем:

4)3 = а4•3 = а12.

Свойства степеней, выраженные формулами (ab)n = аnbn и (аm)n = аmn, имеют место и для степеней с нулевым показателем (если основания отличны от нуля).

Упражнения

  1. Выполните возведение в степень:

  2. Возведите в степень:

  3. Найдите значение выражения:

  4. Докажите, что:

    а) квадраты противоположных чисел равны;
    б) кубы противоположных чисел противоположны.

  5. Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза? в 3 раза? в 10 раз? в n раз?
  6. Как изменится объём куба, если его ребро увеличить в 2 раза? в 3 раза? в 10 раз? в n раз?
  7. (Для работы в парах.) На покраску куба затратили 40 г краски. Хватит ли 1 кг краски, чтобы покрасить куб, ребро которого в 3 раза больше?

    1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.
    2) Выполните самостоятельно вычисления.
    3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

  8. (Для работы в парах.) Бассейн, имеющий форму куба, наполняется водой через трубу за 40 мин. Успеют ли за 5 ч наполнить водой через ту же трубу бассейн, имеющий форму куба, ребро которого вдвое больше?

    1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.
    2) Выполните самостоятельно вычисления.
    3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

  9. Представьте в виде степени произведение:

  10. Найдите значение выражения:

  11. Выполните возведение в степень:

  12. Запишите в виде степени с основанием х выражение:

  13. Представьте в виде степени с основанием а выражение:

  14. Представьте в виде степени с основанием а:

  15. Представьте в виде степени с основанием 5 число:

  16. Представьте число 220 в виде степени с основанием:

  17. Запишите число 260 в виде степени с основанием:

  18. Выражение а12 представьте в виде степени несколькими способами.
  19. Известно, что а2 = m. Найдите а6.
  20. Упростите выражение:

  21. Запишите в виде степени с основанием а выражение:

  22. Упростите выражение:

  23. Найдите значение выражения:

  24. Известно, что а < 0 и b > 0. Сравните с нулём значение выражения:

  25. Какой цифрой может оканчиваться:

    а) квадрат натурального числа;
    б) четвёртая степень натурального числа?

  26. Известно, что график функции у = kх + 5,4 проходит через точку А (3,7; -2). Найдите значение коэффициента k.
  27. На рисунке 59 построен график некоторой функции.

    Рис. 59

    Используя график, найдите:

    а) значение у при х, равном -2; -1; 2;
    б) значения х, при которых у равно -0,5; 2.

Контрольные вопросы и задания

  1. Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них основание и показатель степени.
  2. Сформулируйте и докажите основное свойство степени.
  3. Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени произведение 12 • 123 • 126.
  4. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени частное 5,76 : 5,73.
  5. Дайте определение степени числа с нулевым показателем.
  6. Сформулируйте правило возведения в степень произведения, правило возведения в степень степени. Представьте в виде степени выражение: (5аb)4; (a3)6; y4 • (y2)6.

Рейтинг@Mail.ru