Учебник для 7 класса

Алгебра

       

19. Умножение и деление степеней

Выражение а2а3 представляет собой произведение двух степеней с одинаковыми основаниями. Это произведение можно записать в виде степени с тем же основанием:

а2а3 - (аа) • (ааа) = ааааа = а5.

Значит,

а2а3 = а2+3.

Мы видим, что произведение а2а3 равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней. Аналогичным свойством обладает произведение любых степеней с одинаковыми основаниями.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n
аmаn = аm+n.

Для доказательства используем определение степени и свойства умножения. Представим выражение аmаn сначала в виде произведения множителей, каждый из которых равен а, а затем в виде степени

Таким образом,

аmаn = аm+n.

Доказанное равенство выражает основное свойство степени. Оно распространяется на произведение трёх и более степеней. Например:

Из основного свойства степени следует правило умножения степеней:

при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Приведём примеры:

х8х7 = х8+7 = х15, yу5 = у1у5 = у1+5 = y6, b2b4b3 = b2+4+3 = b9.

Выражение а7 : а2 является частным двух степеней с одинаковыми основаниями. Оно имеет смысл при а ≠ 0. Если а ≠ 0, то это частное можно представить в виде степени с тем же основанием. Действительно, так как а2 • а4 = а7 то по определению частного

а7 : а3 = а4, т. е. а7 : а3 = а7-3.

Мы видим, что частное а7 : а2 при а ≠ 0 равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.

Аналогичным свойством обладает любое частное степеней с одинаковыми основаниями, отличными от нуля, в котором показатель степени делимого больше показателя степени делителя.

Для любого числа а ≠ 0 и произвольных натуральных чисел тип, таких, что m > n,
аm : аn = аm-n.

Равенство аm : аn = аm-n. будет доказано, если мы установим, что произведение аm-n и аn равно аm.

Применив к произведению аm-nаn основное свойство степени, получим

Значит, по определению частного аm : аn = аm-n.

Из доказанного свойства следует правило деления степеней:

при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Приведём примеры:

Мы вывели правило деления аm на аn для случая, когда m > n. Если это правило применить к частному аn : an, то получится

аn : аn — аn-n = а0.

Степень с нулевым показателем не была определена. Так как при всяком а ≠ 0 и любом натуральном n

аn : аn = 1,

то считают, что при а ≠ 0

а0 = 1.

Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.

Например, 20 = 1, (-3,5)0 = 1. Выражение 00 но имеет смысла.

Теперь после введения нулевой степени мы можем применять формулу аmаn = аm+n (при а ≠ 0) и в том случае, когда m = 0 или n = 0. Формулу аm : аn = аm-n при а ≠ 0 можно применять при любых целых неотрицательных числах m и n, удовлетворяющих условию m ≥ n.

Упражнения

  1. Представьте произведение в виде степени:

  2. Запишите в виде степени произведение:

  3. Представьте выражение а15 в виде произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, одна из которых равна:

  4. Представьте степень в виде произведения двух степеней с тем же основанием каким-нибудь способом:

  5. Представьте выражение х6 в виде произведения двух степеней с основанием х всеми возможными способами.
  6. Представьте в виде степени произведение:

  7. Запишите в виде стеиени выражение:

  8. Представьте в виде степени:

  9. Представив в виде степени выражение, найдите его значение по таблице степеней числа 2, помещённой на форзаце учебника:

  10. По таблице степеней числа 3, помещённой на форзаце учебника, найдите значение выражения, представив его в виде степени с основанием 3:

  11. Представьте выражение в виде степени с основанием с:

  12. Представьте в виде степени частное:

  13. Выполните деление:

  14. Найдите значение выражения:

  15. Найдите значение дроби:

  16. Вычислите:

  17. Упростите выражение:

  18. Найдите значение выражения:

  19. Выполните действия:

  20. Представьте в виде квадрата или куба число:

  21. Постройте график функции, заданной формулой у = х - 3. Найдите по графику значения функции при х = 4 и х = 6.
  22. Двигаясь со скоростью 70 км/ч, автомобиль за t ч прошёл расстояние s км. Задайте формулой зависимость s от t. Пользуясь этой формулой, найдите путь, который автомобиль прошёл за время от 3 ч 30 мин до 5 ч.
  23. Пусть а — произвольное число. Сравните с нулём значение выражения:

  24. Принадлежит ли графику функции, заданной формулой у = х3 - Зх2, точка А (7; 196)? точка В (-5; -200)?
  25. Кусок гранита объёмом 40 см3 имеет массу 108 г. Какова масса куска гранита, объём которого на 35 см3 больше?

Рейтинг@Mail.ru