Учебник для 7 класса

Алгебра

       

18. Определение степени с натуральным показателем

Произведение нескольких одинаковых множителей можно записать в виде выражения, называемого степенью. Папример:

5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 57.

Повторяющийся множитель называют основанием степени, а число повторяющихся множителей — показателем, степени.

Так, в выражении 57 число 5 — основание степени, а число 7 — показатель степени.

Определение: Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется выражение аn, равное произведению n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

Запись аn читается так: «а в степени n», «n-я степень числа а». По определению степени

а1 = а, а2 = аа, а3 = ааа, а4 = аааа.

Вообще

Нахождение значения степени называют возведением в степень. Приведём примеры возведения в степень:

При возведении в степень положительного числа получается положительное число; при возведении в степень нуля получается нуль.

При возведении в степень отрицательного числа может получиться как положительное число, так и отрицательное. Например:

Степень отрицательного числа с чётным показателем — положительное число.

Степень отрицательного числа с нечётным показателем — отрицательное число.

Действительно, произведение чётного числа отрицательных множителей положительно, а произведение нечётного числа отрицательных множителей отрицательно.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, т. е. а2 ≥ 0 при любом а.

При вычислении значений числовых выражений, не содержащих скобки, принят следующий порядок действий: сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, далее сложение и вычитание.

Вычислим значения нескольких выражений, содержащих степени.

Пример 1. Найдём значение выражения 4 • 103.

Решение: 1) 103 = 10 • 10 • 10 = 1000; 2) 4 • 1000 = 4000.

Значит, 4 • 103 = 4000.

Пример 2. Найдём значение выражения -23 + (-3)4.

Решение: 1) 26 = 64; 2) -26 = -64; 3) (-3)4 = 81; 4) -64 + 81 = 17.

Значит, -26 + (-3)4 = 17.

Рассмотрим теперь, как находят значение степени с помощью калькулятора.

Пример 3. Найдём с помощью калькулятора значение степени 2,75.

Решение: Так как степень 2,75 есть произведение пяти множителей, каждый из которых равен 2,7, то вычисления можно провести по схеме

Однако калькулятор позволяет вычислять значение степени проще, не набирая повторно основание степени и знак умножения. В нашем примере достаточно ввести число 2,7, нажать клавишу и 4 раза нажать клавишу . Получим более удобную схему вычислений:

В результате вычислений найдём, что 2,75 = 143,48907.

Упражнения

  1. Запишите произведение в виде степени:

  2. Назовите основание и показатель степени:

    Используя определение степени, представьте степень в виде произведения.

  3. Выполните возведение в степень:

  4. Найдите значение степени:

  5. Вычислите с помощью калькулятора:

  6. Найдите с помощью калькулятора значение выражения:

  7. Заполните таблицу:

  1. Представьте:

  2. Представьте в виде квадрата или куба число:

  3. Сравните:

  4. Выполните действия:

  5. Найдите значение выражения, используя таблицу квадратов, помещённую на форзаце учебника:

  6. Вычислите:

  7. Выполните действия:

  8. Вычислите:

  9. Окно в старинном особняке имеет форму прямоугольника, завершающегося полукругом (рис. 57).

    Рис. 57

    Составьте формулу для вычисления его площади S (в квадратных сантиметрах), если известно, что основание прямоугольника равно а см, высота прямоугольника в полтора раза больше основания. Найдите площадь окна, если а = 80. (Указание. Площадь круга равна πr2, где r — радиус круга, к ≈ 3,14.)

  10. Составьте формулу для вычисления площади кольца, изображённого на рисунке 58.

    Рис. 58

    Найдите площадь кольца, если R = 6,4 см, r = 3,6 см.

  11. Найдите значение выражения:

  12. Чему равны значения выражений:

  13. Вычислите значение выражения x5 + х4 + х3 + х2 + х при x = -1; 0; 10.
  14. (Задача исследование.) Найдите всевозможные значения а, где а — натуральное число, при которых число 90 является наименьшим общим кратным чисел 15 и а.

    1) Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15.
    2) Обсудите, какие множители должны входить в разложение числа а.
    3) Сделайте вывод о значениях числа а.

  15. Представьте произведение в виде степени с основанием а:

    а) а3а; б) а4а2; в) а3а6; г) а20а12.

  16. Объясните, почему при любых значениях переменной х значения выражений 4х2 и (х - 8)2 являются неотрицательными числами.
  17. (Для работы в парах.) Даны выражения:

    Какие из этих выражений принимают:

    а) только положительные значения;
    б) только отрицательные значения?

    1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
    2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнено задание.
    3) Исправьте ошибки, если они допущены.

  18. Запишите в виде выражения:

    а) квадрат суммы чисел х и 1;
    б) сумму квадратов чисел а и b;
    в) разность квадратов чисел m и n;
    г) квадрат разности чисел m и n;
    д) удвоенное произведение квадратов чисел х и у;
    е) удвоенное произведение куба а и квадрата b.

  19. Прочитайте выражение:

  20. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции у = 1,2х - 30 с осью х и осью у.
  21. Найдите координаты точки пересечения графиков функций:

    а) у = -4х + 1,3 и у = х - 2,7;
    б) у = -х + 8,1 и у = -Зх + 7,9.

  22. Каково взаимное расположение графиков функций:

    а) у = - + 3 и y = - - 3;
    б) у = х + 4 и y = - х + 4?

Рейтинг@Mail.ru