Учебник для 7 класса

Алгебра

       

2. Выражения с переменными

Двигаясь со скоростью 60 км/ч, автомобиль за 2 ч пройдёт 60 • 2 км, за 3 ч — 60 • 3 км, за 5 ч — 60-5 км, за 5,5 ч — 60 • 5,5 км. Вообще за t ч он пройдёт 60t км. Изменяя значение t, мы можем с помощью выражения 60t находить путь, пройденный автомобилем за разные промежутки времени. Для этого достаточно вместо буквы t подставить её значение и выполнить умножение. Букву t в выражении 60t называют переменной, а само выражение 60t — виражением с переменной.

Приведём ещё пример. Пусть длины сторон прямоугольника равны а см и b см. Тогда его площадь равна ab см2. Выражение ab содержит две переменные а и b. Оно показывает, как находить площадь прямоугольника при различных значениях а и b. Например:

Если в выражение с переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо её значение, то получится числовое выражение. Его значение называют значением вы ражения с переменными при выбранных значениях переменных.

Так, число 88 есть значение выражения ab при a = 8 и b = 11, число 100 есть значение этого выражения при а = 25 и b = 4.

Рассмотрим выражение . При любом b ≠ 3 можно найти его значение. Например, если b = 13, то .

При b = 3 значение этого выражения найти нельзя, так как в этом случае делитель b - 3 равен пулю. Говорят, что при b ≠ 3 выражение -- имеет смысл, а при b = 3 оно не имеет смысла.

Некоторые выражения имеют смысл нри всех значениях переменных. Примерами могут служить выражения

Выражения с переменными используются для записи формул.

Рассмотрим примеры.

Любое чётное число m можно представить в виде произведения числа 2 и целого числа n, т. е.

m = 2n.

Если в эту формулу вместо n подставлять целые числа, то значениями переменной m будут чётные числа. Формулу m = 2n называют формулой чётного числа.

Формулу m = 2n + 1, где n — целое число, называют формулой нечётного числа.

Аналогично формуле чётного числа можно записать формулу числа, кратного любому другому натуральному числу.

Например, формулу числа, кратного 3, можно записать так: m = Зn, где n — целое число.

Упражнения

  1. Найдите значения выражения:

  2. Заполните таблицу, вычислив значения выражений 3x - 1 и -3x + 1 для указанных значений х:

    Какими числами являются соответственные значения выражений Зx - 1 и -3x + 1?

  1. Найдите значения выражений 10 - 2у и 10 + 2у и запишите их в соответствующие клетки таблицы:

  1. Какие значения принимают сумма х + у и произведение ху при следующих значениях переменных:

  2. Найдите значение выражения 5m - Зn, если:

  3. Вычислите значение выражения x - y, если:

  4. Заполните таблицу, вычислив значения выражения а - 2b:

  1. Известно, что при некоторых значениях х и у значение выражения х - у равно 0,7. Какое значение принимает нри тех же х и у выражение:

  2. Известно, что при некоторых значениях а и b значение выражения а - b равно 4. Чему равно при тех же а и b выражение ? Выберите верный ответ.

    1. -2 2. 2 3. -4 4. 4

  3. Вычислите значение выражения:

  4. Опытное поле разбили на два участка. Площадь первого участка а га, а второго — b га. С каждого гектара первого участка собрали 32 ц пшеницы, а с каждого гектара второго участка собрали 40 ц. Сколько пшеницы собрали с обоих участков? Вычислите при а = 120 и b = 80.
  5. На стройке работало 5 бригад, по а человек в каждой, и 3 бригады, но b человек в каждой. Сколько человек работало на стройке? Вычислите при а = 25 и b = 32.
  6. На рисунке 1 указаны длины отрезков (в сантиметрах). Для каждой фигуры составьте выражение для вычисления её площади (в квадратных сантиметрах).

    Рис. 1

  7. Ребро куба равно а м. От этого куба отрезан прямоугольный параллелепипед, высота которого равна h м (рис. 2). Найдите объём оставшейся части.

    Рис. 2

  8. В 250 г водного раствора соли содержалось х г соли. Какой стала концентрация раствора после добавления в пего 5 г соли? Выберите верный ответ.

  9. В сплаве олова и свинца массой 20 кг содержалось х кг олова. Каким стало процентное содержание олова в сплаве после добавления в него 2 кг олова?
  10. Длина прямоугольника а см, ширина b см. Что означает выражение: a) ab; б) 2а + 2b; в) а + b; г) 2а?
  11. Тетрадь стоит х р., а карандаш стоит у р. Что означает выражение: а) х + у; б) Зx + у; в) 2х + 3y; г)
  12. Прочитайте, пользуясь терминами «сумма», «разность», «произведение» и «частное», выражение:

  13. Запишите в виде выражения:

    а) сумму чисел b и с;
    б) разность чисел а и m;
    в) квадрат числа х;
    г) куб числа у;
    д) сумму числа х и произведения чисел а и b;
    е) разность числа m и частного чисел х и у;
    ж) произведение суммы чисел а и b и числа с;
    з) произведение числа а и суммы чисел х и у.

  14. Нри каких значениях переменной имеет смысл выражение:

  15. Какое из данных выражений имеет смысл при любых значениях а?

  16. Составьте aрмулу числа:

    а) кратного 5; б) кратного 10; в) кратного 101.

  17. Напишите формулу числа, кратного 7. Найдите по этой формуле два трёхзначных числа, кратных 7.
  18. (Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6.
    1. Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.
    2. Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.
    3. Проведите доказательство.
  19. Найдите число, если известно, что:

      а) 3% этого числа равны 1,8;

      б) 85% этого числа равны 17;

      в) 130% этого числа равны 3,9;

      г) 6,2% этого числа равны 9,3.

  20. После того как из бидона отлили 30% молока, в нём осталось 14 л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально?
  21. Перевыполнив план на 15%, завод выпустил за месяц 230 станков. Сколько станков должен был выпустить за месяц завод по плану?

Рейтинг@Mail.ru