Учебник для 7 класса

Алгебра

       

16. Линейная функция и её график

Рассмотрим примеры функций.

Пример 1. На шоссе расположены пункты Ли В, удалённые друг от друга на 20 км (рис. 29). Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А, со скоростью 50 км/ч. За t ч мотоциклист проедет 50t км и будет находиться от А на расстоянии 50t + 20 км. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой

s = 50t + 20,

где t ≤ 0

Пример 2. Ученик купил тетради по 3 р. за штуку и ручку за 5 р. Обозначим число купленных тетрадей буквой х, а стоимость покупки (в рублях) буквой у. Получим у = Зх + 5, где х — натуральное число.

y = 3x + 5

В обоих примерах мы встретились с функциями, заданными формулами вида

y = kx + b,

где х — независимая переменная, k и b — числа.

Такие функции называют линейными функциями.

Определение: Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у = kx + b, где х — независимая переменная, k и b — некоторые числа.

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции. Действительно, при b = 0 формула у = kx + b принимает вид у = kx, а этой формулой при k ≠ 0 задаётся прямая пропорциональность.

Выясним, какой вид имеет график линейной функции.

Рассмотрим, например, функцию у = 0,5x + 2. Сравним значения функций

у = 0,5x + 2 и у = 0,5x

при одних и тех же значениях x.

Из приведённой таблицы и формул у = 0,5x и у = 0,5x + 2 ясно, что для любого значения аргумента x значение функции у = 0,5x + 2 на 2 единицы больше значения функции у = 0,5x. Если график функции у = 0,5x сдвинуть на 2 единицы вверх (т. е. в направлении оси у), то каждая точка (x0; у0) графика функции у = 0,5x перейдёт в точку (x0; у0 + 2) графика функции у = 0,5x + 2. При этом любая точка графика функции у = 0,5x + 2 получается из соответствующей точки графика функции у = 0,5x.

Следовательно, график функции у = 0,5x + 2 есть прямая, параллельная графику функции у = 0,5x, проходящая через точку (0; 2) (рис. 30).

Рис. 30

Аналогично можно показать, что графиком функции у = 0,5x - 3 является прямая, параллельная прямой у = 0,5x и проходящая через точку (0; -3) (рис. 31).

Рис. 31

Вообще

график функции у = kx + b, где k ≠ 0, есть прямая, параллельная прямой у = kx.

Формула у = kx + b при k = 0 принимает вид у = b. В этом случае графиком функции у = kx + b является прямая, параллельная оси x при b ≠ 0 или сама ось x при b = 0.

На рисунке 32 построен график функции у = 3.

Рис. 32

Таким образом,

графиком линейной функции является прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Пример 3. Построим график функции у = 2x + 3.

Решение: Функция у = 2x + 3 линейная, поэтому её графиком является прямая. Используя формулу у = 2х + 3, найдём координаты двух точек графика:

если х = -2, то у = 2 • (-2) + 3 = -1;
если х = 1, то у = 2 • 1+3 = 5.

Отметим точки А (-2; -1) и B(1; 5). Проведём через эти точки прямую (рис. 33). Прямая АB есть график функции у= 2х + 3.

Рис. 33

При построении графика линейной функции часто бывает удобно в качестве одной из точек брать точку с абсциссой 0.

Пример 4. Построим график функции y = -0,8x + 1.

Решение: Найдём координаты двух точек графика:

если х = 0, то у = -0,8 • 0 +1 = 1;
если х = 5, то у = -0,8 • 5 + 1 = -3.

Отметим точки М(0; 1) и К(5; -3) и проведём через них прямую (рис. 34). Прямая МК — график функции у = -0,8x + 1.

Рис. 34

Пример 5. Построим график функции у = -2.

Решение: Любому значению х соответствует одно и то же значение у, равное -2. Отметим две какие-нибудь точки с ординатой -2, например P(0; -2) и N(4; -2), и проведём через них прямую (рис. 35). Прямая PN — график линейной функции у = -2.

Рис. 35

Расположение графика функции у = kx + b на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

На рисунке 36 изображены прямые, которые являются графиками линейных функций, заданных формулами вида у = kx + b с одинаковыми коэффициентами при х и различными значениями b. Все эти прямые параллельны и наклонены к оси х под одним и тем же углом. Этот угол зависит от коэффициента k.

Рис. 36

Число k называют угловым коэффициентом прямой — графика функции у= kx + b. Бели k > 0, то угол наклона прямой у = kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой. На рисунке 37 для каждого случая этот угол показан с помощью стрелки.

Рис. 37

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

Из формулы у = kx + b следует, что при х = 0 значение у равно b. Значит, график функции у = kx + b пересекает ось у в точке с координатами (0; b). На рисунке 38 изображены прямые, которые являются графиками функций, заданных формулами вида у = kx + b с различными k и одним и тем же значением b. Все эти прямые пересекаются в одной точке, лежащей на оси у.

Рис. 38

Заметим, что если область определения линейной функции состоит не из всех чисел, то её график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.

Упражнения

  1. Каждую секунду в бассейн поступает 0,5 м3 воды. Сколько кубометров воды станет в бассейне через х с, если сейчас в нём 120 м3 воды? Задайте формулой зависимость объёма воды в бассейне от времени его наполнения. Является ли эта зависимость линейной функцией?
  2. Длина прямоугольника х см, а ширина на 3 см меньше. Задайте формулами зависимость периметра прямоугольника от его длины и зависимость площади прямоугольника от длины. Какая из этих зависимостей является линейной функцией?
  3. Ученик имел 85 р. На эти деньги он купил х марок по 10 р. После покупки у него осталось у р. Задайте формулой зависимость у от х. Является ли эта зависимость линейной функцией?
  4. Является ли линейной функция, заданная формулой:

  5. Линейная функция задана формулой у = 0,5х + 6. Найдите значение у, соответствующее х = -12; 0; 34. При каком х значение у равно -16; 0; 8?
  6. Линейная функция задана формулой у = -Зх + 1,5. Найдите:

    а) значение у, если х = -1,5; 2,5; 4;
    б) значение х, при котором у = -4,5; 0; 1,5.

  7. Постройте график функции, заданной формулой:

  8. (Задача исследование.) Дана линейная функция у = kx + 4. При каком значении k график этой функции:

    а) параллелен графику прямой пропорциональности у = -х;
    б) не пересекает ось абсцисс;
    в) пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 3;
    г) проходит через точку пересечения графиков функций у = 12 - х и у = х + 4?

    Обсудите ответы на поставленные вопросы.

  9. Постройте график функции у = -10х + 40, выбрав масштаб: по оси х — в 1 см одна единица, по оси у — в 1 см 10 единиц. Найдите по графику:

    а) значение y, соответствующее х = -2,5; 0,8; 3,5;
    б) значение х, которому соответствует у = 70; -10; -30.

  10. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

    а) у = -2,4х + 9,6;
    б) у = -0,7x - 28;
    в) у = 1,2х + 6;
    г) у = -5х + 2.

  11. В какой точке пересекает ось х график функции, заданной формулой:

    а) у = 0,4х - 12;
    б) у = - + 8?

  12. Не выполняя построения графика функции у = 1,2x - 7, выясните, проходит ли этот график через точку:

    а) A(100; 113);
    б) В(-15; -25);
    в) С(-10; 5);
    г) D(300; 353).

  13. В одной и той же координатной плоскости постройте графики функций у = 6, у = 3,2, у = -1, у = -5, у = 0.
  14. Постройте графики функций у = -2, у = -1,9, y = 1,6, у = 7.
  15. Найдите координаты точки пересечения графиков функции:

    а) у = 10х - 8 и у = -Зх + 5;
    б) у = 14 - 2,5x и у = 1,5x - 18;
    в) у = 14х и у = х + 26;
    г) у = -5х +16 и у = -6.

  16. На рисунке 39 изображён график одной из линейных функций.

    Рис. 39

    Укажите эту функцию.

    1. у = -2х + 6
    2. у = х + 7
    3. у = х- 7
    4. у = -х + 7

  17. Один из графиков на рисунке 40 является графиком функции . Укажите его.

    Рис. 40

  18. (Для работы в парах.) На рисунке 41 изображён график зависимости массы бидона с жидкостью от объёма жидкости.

    Рис. 41

    Найдите по графику:

    а) массу пустого бидона;
    б) массу бидона с одним литром жидкости;
    в) массу одного литра жидкости;
    г) объём жидкости в бидоне, если общая масса бидона с жидкостью равна 3 кг.

    1) Выполните каждый задания а) и б).
    2) Сравните полученные ответы. Исправьте ошибки, если они допущены.
    3) Обсудите, как с помощью графика можно выполнить задания в) и г).

  19. Из бака ёмкостью 12 л, наполненного доверху водой, равномерно вытекает вода. График зависимости V от /, где V — объём воды в баке (в литрах), a t — время вытекания воды (в минутах), построен на рисунке 42.

    Рис. 42

    Пользуясь графиком, найдите:

    а) объём воды в баке через 3 мин;
    б) время, через которое в баке осталось 4 л воды;
    в) за какое время вытекла вся вода.

  20. Дачник отправился из дома на автомобиле в посёлок. Сначала он ехал по шоссе, а затем по просёлочной дороге, сбавив при этом скорость. График движения дачника изображён на рисунке 43.

    Рис. 43

    Пользуясь графиком, ответьте на вопросы:

    а) сколько времени ехал дачник по шоссе и сколько километров по шоссе он проехал; какая скорость автомобиля была на этом участке пути;
    б) сколько времени ехал дачник по просёлочной дороге и сколько километров он проехал по этой дороге; какова была скорость автомобиля на этом участке пути;
    в) за какое время дачник проехал весь путь от дома до посёлка?

  21. В бак налили воду, температура которой 10 °С, и нагревали её до 100 °С, причём через каждую минуту температура повышалась на 1,5 °С. Задайте формулой зависимость температуры воды Т (в градусах Цельсия) от времени нагревания t (в минутах). Постройте график этой зависимости. Узнайте по графику:

    а) какую температуру имела вода через 5 мин; через 10 мин после начала нагревания;
    б) через какое время вода нагрелась до 85 °С.

  22. Группа туристов отправилась со станции на турбазу. Первые 2 ч они шли со скоростью 4,5 км/ч. Затем сделали привал на 1 ч. На оставшуюся часть пути они затратили полтора часа, проходя её со скоростью 6 км/ч. Постройте график движения туристов.
  23. (Для работы в парах.) На рисунке 44 изображены графики движения двух машин, следующих из города А в город В, расстояние между которыми 200 км.

    Рис. 44

    С помощью этих графиков ответьте на вопросы:

    а) какое время была в пути первая машина; вторая машина;
    б) какая машина начала своё движение раньше;
    в) с какой скоростью двигалась каждая машина;
    г) какая машина прибыла в город В раньше?

    1) Распределите, кто отвечает на вопросы а), в), а кто — на вопросы б), г), и ответьте на них.
    2) Проверьте друг у друга правильность ответов на поставленные вопросы.
    3) Обсудите, что означает точка пересечения графиков.

  24. Решите уравнение:

    а) 3(0,9х - 1) - (х + 0,6) = -0,2;
    б) 7 - (3,1 - 0,1y) = -0,2у.

  25. Три бригады изготовили 65 деталей. Первая бригада изготовила на 10 деталей меньше, чем вторая, а третья — 30% тот числа деталей, которые изготовили первая и вторая бригады вместе. Сколько деталей изготовила каждая бригада?
  26. Запишите в виде выражения сумму трёх последовательных натуральных чисел, меньшее из которых равно: а) n; б) n - 1; в) n + 4. Упростите записанное выражение.

Контрольные вопросы и задания

  1. Сформулируйте определение прямой пропорциональности.
  2. Что является г рафиком прямой пропорциональности? Как построить график прямой пропорциональности?
  3. Как расположен в координатной плоскости график функции у = kx при k > 0 и при k < 0?
  4. Дайте определение линейной функции.
  5. Что является графиком линейной функции? Как построить график линейной функции?
  6. В каком случае графики двух линейных функций пересекаются и в каком случае они являются параллельными прямыми?
  7. В каких координатных четвертях расположен график функции: у = бx; у = 0,5х + 4; у = Зх - 1; у = -3?

Рейтинг@Mail.ru