Учебник для 7 класса

Алгебра

       

15. Прямая пропорциональность и её график

Рассмотрим пример. Пусть V — объём железного бруска в кубических сантиметрах, m — его масса в граммах. Так как плотность железа равна 7,8 г/см3, то m = 7,8 V. Зависимость массы железного бруска от его объёма является примером функции, которая задаётся формулой вида у = kx, где х — независимая переменная, k — число, отличное от нуля.

Такую функцию называют прямой пропорциональностью.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у = kх, где х — независимая переменная, k — не равное нулю число.

Число k в формуле у = kх называется коэффициентом прямой пропорциональности.

Из формулы у = kх, где k ≠ 0, находим, что если х1 и х2 — значения аргумента, причём x1 ≠ 0, х2 ≠ 0, а у1 и у2 — соответствующие им значения функции, то у1 = kх1, у2 = kх2. Отсюда

т. е. верна пропорция

С этим и связано название «прямая пропорциональность» в отличие от «обратной пропорциональности», с которой вы познакомитесь позже.

В повседневной жизни мы часто встречаемся с зависимостями между переменными, которые являются прямыми пропорциональностями.

Приведём примеры.

Пример 1. Путь s км, пройденный автомобилем за t ч с постоянной скоростью 70 км/ч, вычисляется по формуле s = 70t, где t > 0, т. е. зависимость s от t является прямой пропорциональностью.

Пример 2. Стоимость р товара в рублях по цене 15 р. за килограмм вычисляется по формуле

р = 15x,

где x — масса товара в килограммах. Зависимость р от x является прямой пропорциональностью.

Пример 3. Длина окружности С вычисляется по формуле

С = 2πr,

где r — радиус окружности, π — число, приближённо равное 3,14. Значит, зависимость С от r является прямой пропорциональностью (коэффициент пропорциональности здесь равен 2π).

Выясним, что представляет собой график прямой пропорциональности.

В качестве примера рассмотрим функцию у = 0,5x и построим график этой функции.

Область определения функции у = 0,5x — множество всех чисел. Составим таблицу соответственных значений переменных x и у для некоторых значений аргумента x:

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых номещеш,1 в таблице (рис. 22).

Рис. 22

Можно заметить, что все отмеченные точки принадлежат некоторой прямой, проходящей через начало координат. Проведём эту прямую. Получим график функции у = 0,5x (рис. 23).

Рис. 23

Рассуждая аналогично, можно построить, например, график функции у = -1,5x (рис. 24). Этот график, так же как и график функции у = 0,5x, является прямой и проходит через начало координат.

Рис. 24

Вообще,

график прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

Чтобы построить график функции у = kx, достаточно найти координаты какой-нибудь точки графика этой функции, отличной от начала координат, отметить эту точку и через неё и начало координат провести прямую.

Построим, например, график функции у = 1,5х. Пусть х = 2, тогда у = 3. Построим точку A (2; 3) и через неё и начало координат проведём прямую. Эта прямая является графиком функции у = 1,5х (рис. 25).

Рис. 25

Расположение графика функции у = kx в координатной плоскости зависит от коэффициента k. Из формулы у = kx находим, что если х = 1, то у = k. Значит, график функции у = kх проходит через точку (1; k). При k > 0 эта точка расположена в первой координатной четверти, а при k < 0 — в четвёртой. Отсюда следует, что при k > 0 график прямой пропорциональности расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k < 0 — во второй и четвёртой.

На рисунке 26 построены графики прямой пропорциональности при различных значениях k.

Рис. 26

Упражнения

  1. Велосипедист движется равномерно со скоростью 12 км/ч. Напишите формулу, выражающую зависимость пройденного пути s (в километрах) от времени движения t (в часах). Является ли эта зависимость прямой пропорциональностью?
  2. Является ли прямой пропорциональностью функция, заданная формулой:

  3. Прямая пропорциональность задана формулой у = -х.

    Найдите значение у, соответствующее ху равному -9; 0; 1; 4.

  4. Постройте график примой пропорциональности, заданной формулой:

  5. (Для работы в парах.) Задайте формулой прямую пропорциональность, график которой симметричен графику функции у - 9x:

    а) относительно оси x; б) относительно оси у.

    1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
    2) Проверьте друг у друга правильность выполнения задания.

  6. Постройте график функции, заданной формулой у = -0,5x. С помощью графика найдите:

    а) значение у, соответствующее x, равному -2; 4; 1;
    б) при каком x значение у равно -1; 0; 2,5.

    Существует ли такое x, при котором у = -150? Если существует, то вычислите его.

  7. Принадлежат ли графику функции у = -0,5x точки А(0; 1), B(—1; 0,5), С (2; -1), D(4; -2)?
  8. Известно, что график прямой пропорциональности проходит через точку А(3; 21). Проходит ли этот график через точку В(-7; -49); точку С(-5; 3,5); точку D(0,8; -5,6)?
  9. (Для работы в парах.) Покажите схематически, как расположен график функции, заданной формулой:

    1) Распределите, кто выполняет задания а), б), а кто — задания в), г), и выполните их.
    2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.
    3) Обсудите, какой вид имеет график функции у = kх в заданиях д) и е).

  10. Для каждого графика прямой пропорциональности, изображённого на рисунке 26, напишите соответствующую формулу.
  11. Турист вышел из города и через x ч находился на расстоянии у км от него. Зависимость у от x показана в таблице:

    В координатной плоскости отметьте эти точки и покажите с помощью линейки, что они расположены почти на прямой. Составьте формулу, которая приближённо выражает зависимость у от x.

  1. На рисунке 27 построены графики движения пешехода (отрезок OB) и велосипедиста (отрезок OA).

    Рис. 27

    С помощью графиков ответьте на вопросы:

    а) какое время был в пути пешеход и какое время — велосипедист;
    б) какой путь проделал пешеход и какой путь проехал велосипедист;
    в) с какой скоростью двигался пешеход и с какой — велосипедист;
    г) во сколько раз путь, который проехал за 2 ч велосипедист, больше пути, пройденного за то же время пешеходом?

  2. На рисунке 28 изображен график зависимости удлинения у стальной проволоки от силы F, под действием которой проволока растягивается.

    Рис. 28

    Укажите границы изменения силы Fy при которых зависимость удлинения проволоки от силы F является прямой пропорциональностью.

  3. Решите уравнение:

    а) 1 - 1,7x - (0,8x + 2) = 3,4;
    б) 5 - 0,2у = 0,3у - 39.

  4. Упростите выражение:

    а) -21 (4 - 10а) - 54а;
    б) 28 - 10d + 4(d + 18).

  5. Известно, что а > 0. Сравните с нулём значение выражения:

    а) 5а;
    б) -10а;
    в) а + 6;
    г) -а;
    д) ;
    е) -.

Рейтинг@Mail.ru