Учебник для 7 класса

Алгебра

       

14. График функции

Рассмотрим функцию, заданную формулой

где -2 ≤ х ≤ 3.

По этой формуле для любого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.

В таблице указаны некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции:

Каждую из найденных пар значений х и у изобразим точкой в координатной плоскости, считая значение x абсциссой, а соответствующее значение у ординатой (рис. 11).

Рис. 11

Выбирая другие значения х из промежутка от -2 до 3 и вычисляя соответствующие им значения у по формуле у = , будем получать другие пары значений х и у. Каждой из этих нар также соответствует некоторая точка координатной плоскости. Все такие точки образуют график функции, заданной формулой у = , где -2 ≤ х ≤ 3 (рис. 12).

Рис. 12

Определение Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Пример 1. Построим график функции, заданной формулой

у = x(6 - х),

где -1 ≤ х ≤ 5.

Решение: Составим таблицу соответственных значений аргумента и функции:

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Соединим их плавной линией (рис. 13).

Рис. 13

Получим график функции, заданной формулой

у = x(6 - х),

где -1 ≤ х ≤ 5.

Чем больше отметим точек, принадлежащих графику, и чем плотнее они будут расположены, тем точнее будет построен график функции.

С помощью графика функции по значению аргумента можно найти соответствующее значение функции. Можно также решить обратную задачу: по значению функции найти те значения аргумента, которым оно соответствует.

Пример 2. По графику функции, изображённому на рисунке 14, найдём: а) значение функции при х = 3; б) значения х, при которых значение функции равно 7.

Рис. 14

Решение:

    а) Через точку оси х с абсциссой 3 проведём перпендикуляр к оси х. Точка пересечения этого перпендикуляра с графиком функции имеет координаты (3; 5). Значит, при х = 3 значение функции равно 5.

    б) Проведём через точку оси у с ординатой 7 прямую, параллельную оси х. Эта прямая пересекает график в двух точках: с координатами (5; 7) и (9; 7). Значит, функция принимает значение, равное 7, при х = 5 и при х = 9.

График даёт наглядное представление о зависимости между величинами. Так, по графику температуры воздуха можно узнать, когда температура равнялась нулю, была выше нуля, ниже нуля, возрастала, убывала и т. д. Например, с помощью графика, изображённого на рисунке 8, можно определить, что температура была равна 0 °С в 9 ч и в 22 ч; была положительной с 9 до 22 ч; возрастала с 3 до 15 ч.

На практике часто используются приборы для автоматической регистрации хода того или иного процесса (изменения в течение суток атмосферного давления, изменения в течение суток уровня моря, изменения давления пара в цилиндре двигателя в зависимости от положения поршня). Эти приборы вычерчивают графики соответствующих функциональных зависимостей. Так, с помощью кардиографа получают графическое описание работы сердца, сейсмограф позволяет получить графическое описание колебаний земной поверхности.

Упражнения

  1. Функция задана формулой у = х(х - 3), где -2 ≤ х ≤ 2. Заполните таблицу и постройте график этой функции.

  1. Принадлежат ли точки A(4; 2), В(1; -4) и C(1; 4) графику функции, заданной формулой у = 2х - 6? Укажите две точки, одна из которых принадлежит этому графику, а другая нет.
  2. Кривая MN — график некоторой функции (рис. 15). Найдите по графику значение функции, соответствующее значению аргумента -2; -1; 0; 1; 5.

    Рис. 15

  3. Используя график функции (рис. 16), заполните таблицу:

    Рис. 16

    Укажите пять значений аргумента, которым соответствуют положительные значения функции, и пять значений аргумента, которым соответствуют отрицательные значения функции.

  1. (Дляработы в парах.) Кривая, изображённая на рисунке 17, — график некоторой функции.

    Рис. 17

    Используя график, найдите:

    а) значения у при х = -3; -2; 0; 2; 4;
    б) значения х, которым соответствуют у = -2; 0; 2; 3.

    1. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
    2. Проверьте друг у друга правильность выполнения задания.
    3. Исправьте ошибки, если они допущены.
    4. Обсудите возможность существования двух искомых значений в случае а) и в случае б).
  2. Пользуясь графиком функции, изображённым на рисунке 17, укажите два каких-либо значения аргумента, при которых функция принимает:

    а) положительные значения;
    б) отрицательные значения.

  3. Измеряя в течение десяти лет каждый год в день рождения рост ребёнка, построили график зависимости роста от возраста ребёнка (рис. 18).

    Рис. 18

    Пользуясь графиком, найдите:

    а) каков был рост ребёнка в 3 года; в 6 лет; в 9 лет;
    б) на сколько сантиметров вырос ребёнок за первые пять лет жизни; за последующие пять лет жизни.

  4. (Для работы в парах.) На рисунке 19 изображены графики зависимости высоты уровня жидкости от её объёма в двух сосудах различной формы, по одной и той же ёмкости 3 л.

    Рис. 19

    Пользуясь графиками, найдите:

    а) какое количество жидкости надо налить в каждый сосуд, чтобы уровни жидкости в них были одинаковы;
    б) сколько жидкости надо налить во второй сосуд, чтобы получить высоту уровня такую же, как в первом сосуде, когда в него налито 1,5 л жидкости.

    1. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
    2. Объясните друг другу, как вы рассуждали при выполнении задания, и изобразите схематически, какую примерную форму имеют эти сосуды.
  5. Время, за которое маятник совершает полное колебание, т. е. из положения О А переходит в положение ОС, а затем снова возвращается в положение ОА (рис. 20), называется периодом колебания маятника.

    Рис. 20

    Изучая зависимость периода колебания маятника Т от длины нити l, составили таблицу:

    Постройте график зависимости периода колебания маятника Т от длины нити I.

  6. Измеряя через каждую минуту температуру воды в баке, составили таблицу:

    Постройте график зависимости у от х (масштаб: 1 см на оси х соответствует 1 мин, 1 см на оси у соответствует 10 °С). Используя график, ответьте на вопросы:

    а) какую температуру имела вода через 4 мин, через 5,5 мин, через 9 мин, через 10,7 мин после начала нагревания;
    б) через сколько минут после начала нагревания температура воды стала равной 41 °С; 60 °С; 95 °С?

  1. (Для работы в парах.) На рисунке 21 изображены графики зависимости тормозного пути автомобиля от скорости его движения на сухом асфальте (кривая ОА), на мокром асфальте (кривая ОВ), при гололёде (кривая ОС).

    Рис. 21

    Для каждого случая ответьте на вопросы:

    а) чему равен тормозной путь автомобиля при скорости 50 км/ч;
    б) с какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы его тормозной путь не превышал 60 м?

    1. Выполните каждый задания а) и б).
    2. Сравните полученные ответы. Исправьте ошибки, если они допущены.
    3. Обсудите, насколько велико различие в тормозном пути на сухом и мокром асфальте.
  2. Решите уравнение:

  3. В автопарке было в 1,5 раза больше грузовых машин, чем легковых. После того как автопарк получил ещё 45 легковых автомашин, а 12 грузовых машин передал фермерам, в нём стало легковых машин на 17 больше, чем грузовых. Сколько всего автомашин было в автопарке?
  4. Верно ли, что:

Контрольные вопросы и задания

  1. Приведите пример функциональной зависимости одной переменной от другой. Укажите независимую и зависимую переменные.
  2. Объясните на примере функции, заданной формулой у = 6х + 12:

    а) как по значению аргумента найги соответствующее значение функции;
    б) как найти значения аргумента, которым соответствует указанное значение функции.

  3. Что называется графиком функции?
  4. Покажите, как с помощью графика функции можно найти:

    а) значение функции, соответствующее заданному значению аргумента;
    б) значения аргумента, которым соответствует данное значение функции. Используйте для этого график функции, изображённый на рисунке 15.

Рейтинг@Mail.ru