Учебник для 7 класса

Алгебра

       

11. Формулы

В художественной литературе вам, вероятно, приходилось встречаться с непривычными единицами измерения. Так, например, в книге Жюля Верна «Дети капитана Гранта» читаем:

  • «Это был ябиру — гигантский журавль английских колоний. Эта птица пяти футов ростом, с чёрным широким клювом конической формы, заостряющимся к концу, в длину он имел восемнадцать дюймов»;
  • «Во время пробного плавания яхта «Дункан» показала скорость в семнадцать морских миль в час»;
  • «Роберт узнал, что средняя годовая температура в провинции Виктория достигает +74° по Фаренгейту».

Для того чтобы этот текст был понятен, надо знать, как упомянутые здесь единицы измерения, выражающие приближённые значения величин, соотносятся с привычными для вас единицами.

Это соотношение выражается следующими формулами:

b = 30,48а, где а — длина в футах, b — соответствующая длина в сантиметрах;

l = 2,54m, где m — длина в дюймах, l — длина в сантиметрах;

р = 1,853m, где m — расстояние в морских милях, р — расстояние в километрах;

с = , где f — температура в градусах Фаренгейта, с — температура в градусах Цельсия.

Выполнив расчёты, найдём, что в приведённом тексте

Заметим, что при выполнении вычислений удобно пользоваться калькулятором.

Значит, в книге Жюля Верна речь идёт о следующих приближённых значениях величин. Высота журавля равна 1,5 м, а длина его клюва — 0,5 м. Яхта «Дункан» шла со скоростью 32 км/ч, а среднегодовая температура в провинции Виктория была равна 23° Цельсия. Приведём пример использования формул в задаче на проценты.

Пример 1. Найдём, на сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если его длину и ширину увеличить на 10%.

Решение: Пусть длина прямоугольника равна а см, ширина — 6 см, а площадь — S см2.

По формуле площади прямоугольника находим, что S = аb. После увеличения длины и ширины прямоугольника на 10% длина будет равна а + 0,1а = 1,1а см, а ширина b + 0.1b = 1,1b см. Тогда площадь будет равна 1,1а • 1,1b = 1,21аb см2, т. е. увеличится на

1,21 аb - аb = 0,21 аb см2.

Имеем • 100% = 21%. Значит, площадь увеличится на 21%.

Этот ответ хорошо поясняет рисунок 6. Из рисунка видно, что к имеющимся 100 малым прямоугольникам, площадь каждого из которых составляет 1% от площади прямоугольника, добавляется ещё 21 малый прямоугольник.

Рис. 6

Свойства равенств позволяют из одной формулы, связывающей две или более переменные, получать новые формулы.

Пример 2. Из формулы с = где f — температура в градусах Фаренгейта, с — температура в градусах Цельсия, выразим переменную f через с.

Решение: Умножив обе части равенства с = на 9, получим

9с = 5(f - 32).

Отсюда

9с = 5f - 160, 5f = 9с + 160.

Значит, f = т. е. f - 1,8с + 32.

Мы получили формулу, позволяющую переходить от температуры в градусах Цельсия к температуре в градусах Фаренгейта.

Упражнения

  1. Пользуясь формулой b - 1,067а, где а — расстояние в вёрстах, b — расстояние в километрах, выразите в километрах расстояние, равное:

    а) 6 верстам;
    б) 12,5 версты;
    в) 104 верстам.

  2. Выразите в килограммах массу, равную 3 пудам, 20,5 пуда, воспользовавшись формулой р = 16,38m, где m — масса в пудах, р — масса в килограммах.
  3. Пользуясь формулой с = 0,454f, где f — масса в фунтах, с — масса в килограммах, выразите в килограммах массу, равную:

    а) 8 фунтам;
    б) 30,5 фунта.

  4. Как изменится площадь прямоугольника, если:

    а) его длину и ширину уменьшить на 10%;
    б) его длину увеличить на 30%, а ширину уменьшить на 30%?

  5. Как изменится объём куба, если длину его ребра увеличить на 20%?
  6. Цену на товар сначала повысили на 15%, а затем снизили на 15%, так как товар перестал пользоваться спросом. Первоначальная цена товара составляла а р., а окончательная — 6 р. Сравните числа а и b (выберите верный ответ).

    1. а> Ь
    2. а < b
    3. а = b
    4. Сравнить нельзя, так как неизвестно значение а

  7. На распродаже цену на костюм снизили на 20%. На сколько процентов надо повысить новую цену, чтобы вернуться к первоначальной?

  8. Найдите:

    а) какой температуре по Фаренгейту соответствует 4 °С; -15°С; 0°С;
    б) какой температуре по Цельсию соответствует 20°F; -16°F; 0°F.

  9. Может ли температура быть:

    а) положительной по Цельсию и отрицательной но Фаренгейту;
    б) положительной по Фаренгейту и отрицательной по Цельсию?

  10. Выразите из формулы:

    а) s = at переменную t;
    б) v - v0 + at переменную а;
    в) S = • h переменную b.

Рейтинг@Mail.ru