Учебник для 7 класса

Алгебра

       

10. Медиана как статистическая характеристика

Рассмотрим ещё одну статистическую характеристику.

Начнём с примера. В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир:

Составим изданных, приведённых в таблице, упорядоченный ряд:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.

В полученном упорядоченном ряду девять чисел. Нетрудно заметить, что в середине ряда расположено число 78: слева от него записано четыре числа и справа четыре числа.

Говорят, что число 78 является срединным числом, или, иначе, медианой, рассматриваемого упорядоченного ряда чисел (от латинского слова mediana, которое означает «среднее»). Это число считают также медианой исходного ряда данных.

Приведём теперь другой пример. Пусть при сборе данных о расходе электроэнергии к указанным девяти квартирам добавили ещё десятую. Получили такую таблицу:

Так же как в первом случае, представим полученные данные в виде упорядоченного ряда чисел:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93.

В этом числовом ряду чётное число членов и имеются два числа, расположенные в середине ряда: 78 и 82. Найдём среднее арифметическое этих чисел: = 80. Число 80, но являясь членом ряда, разбивает этот ряд на дво одинаковые по численности группы — слева от него находятся пять членов ряда и справа тоже пять членов ряда:

Говорят, что медианой рассматриваемого упорядоченного ряда, а также исходного ряда данных, записанного в таблице, является число 80.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n - 1 членов, то медианой ряда является n-й член, так как n - 1 членов стоит до n-го члена и n - 1 членов — после n-го члена. Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n членов, то медианой является среднее арифметическое членов, стоящих на n-м и n + 1-м местах.

В каждом из рассмотренных выше примеров, определив медиану, мы можем указать номера квартир, для которых расход электроэнергии жильцами превосходит срединное значение, т. е. медиану.

Рассмотрим ещё пример. Известно, что 34 сотрудника отдела приобрели акции некоторого акционерного общества. Данные о числе акций, приобретённых сотрудниками, представлены в виде следующего упорядоченного ряда:

Найдём медиану этого ряда. Так как всего в ряду 34 числа, то медиана равна среднему арифметическому 17-гои 18-го членов, т. е. равна

Вычисляя среднее арифметическое этого ряда, найдём, что оно приближённо равно 6,2, т. е. в среднем сотрудники отдела приобрели примерно по 6 акций.

Мы видим, что в данном случае медиана лучше отражает реальную ситуацию, так как половину всех сотрудников составляют те, которые приобрели не более 3 акций.

Вообще среднее арифметическое зависит от значений всех членов в упорядоченном ряду данных, в том числе и от значений крайних членов, которые часто бывают наименее характерными для рассматриваемой совокупности данных. Поэтому при анализе данных сведения о среднем арифметическом часто дополняются указанием медианы.

Такие показатели, как среднее арифметическое, мода и медиана, по-разному характеризуют данные, полученные в результате наблюдений. Поэтому на практике при анализе данных в зависимости от конкретной ситуации используют какой-либо из этих показателей, либо два из них, либо даже все три.

Упражнения

  1. Найдите медиану ряда чисел:

  2. Найдите среднее арифметическое и медиану ряда чисел:

  3. Известно, что ряд данных состоит из натуральных чисел. Может ли для этого ряда быть дробным числом:

  4. В таблице показано число изделий, изготовленных за месяц членами бригады:

    Найдите медиану этого ряда данных. У кого из членов бригады выработка за месяц была больше медианы?

  1. В таблице показано, сколько акций одинаковой стоимости некоторого акционерного общества приобрели сотрудники отдела:

    Найдите медиану этого ряда данных. У кого из сотрудников отдела число приобретённых акций не превосходит медиану?

  1. Подсчитав число сорных семян в 15 пакетиках с семенами, получили такие данные:

    0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1.

    Для представленного ряда данных найдите среднее арифметическое и медиану. Что характеризует каждый из этих показателей?

  2. Отмечая время (с точностью до минуты), которое токари бригады затратили на обработку одной детали, получили ряд данных:

    30, 32, 32, 38, 36, 31, 32, 38, 35, 36, 32, 40, 42, 36, 33, 35, 32, 32, 40, 38.

    Для полученного ряда данных найдите размах, моду и медиану. Объясните практический смысл этих показателей.

  3. В организации вели ежедневный учёт поступивших в течение месяца писем. В результате получили такой ряд данных:

    39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32.

    Для полученного ряда данных найдите среднее арифметическое, размах, моду и медиану. Каков практический смысл этих показателей?

  4. Сравните значения выражений 12а - 5b и 8а - 2b при а = -3,5,

    = 12,6.

  5. Решите уравнение:

    а) 6(у - 1) = 9,4 - 1,7у;
    б) 3(2,4 - 1,1m) = 2,7m + 3,2.

Контрольные вопросы и задания

  1. Что называется средним арифметическим ряда чисел? Может ли среднее арифметическое ряда чисел не совпадать ни с одним из чисел ряда?
  2. Что называется размахом ряда чисел?
  3. Что называется модой ряда чисел? Любой ли ряд чисел имеет моду? Может ли ряд чисел иметь более одной моды? Может ли мода ряда чисел не совпадать ни с одним из чисел ряда?
  4. Что называется медианой ряда чисел? Может ли медиана ряда чисел не совпадать ни с одним из чисел ряда? Какое число является медианой упорядоченного ряда, содержащего 2n - 1 чисел? 2n чисел?

Рейтинг@Mail.ru